Kalkulator potęg
Wpisz podstawę i wykładnik, aby otrzymać dokładną potęgę: wyniki całkowite co do ostatniej cyfry, ułamki dla ujemnych wykładników, dokładne pierwiastki, gdy istnieją, i wartości dziesiętne, gdy nie. Tok obliczeń jest rozpisany, a tabela sprawdza prawa wykładników dla twoich liczb. Za darmo, bez rejestracji.
Liczba całkowita, dziesiętna lub ułamek, np. 2, −1,5 albo 3/4.
Całkowity, ujemny, dziesiętny lub ułamkowy: 10, −3, 0,5 albo 2/3.
Używany tylko w tabeli praw poniżej; liczby całkowite.
Wyniki
1024
Wynik
4
Cyfry w wyniku
Obliczenia
- Zapisz wykładnik 10 w systemie binarnym: 1010. To znaczy 10 = 2 + 8.
- Podnoś do kwadratu wielokrotnie: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Pomnóż potęgi odpowiadające cyfrom binarnym: 2² × 2⁸ = 1024.
Prawa wykładników dla twoich liczb
Dla twojej podstawy i dwóch wykładników całkowitych obie strony każdego prawa wychodzą takie same.
| Prawo | Reguła | Dla twoich liczb |
|---|---|---|
| Iloczynu | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| Ilorazu | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| Potęgi potęgi | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| Ujemnego wykładnika | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| Wykładnika zerowego | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
Jak korzystać z kalkulatora potęg
- 1. Wpisz podstawę. Liczbę całkowitą, dziesiętną lub ułamek: 2, −1,5 albo 3/4. Aby podnieść liczbę ujemną do potęgi, wpisz znak minus w podstawie — wpisanie −2 oblicza (−2)ⁿ.
- 2. Wpisz wykładnik. Liczby całkowite (10), ujemne (−3), dziesiętne (0,5) i ułamki (2/3) są dozwolone. Wykładniki dziesiętne są czytane jako dokładne ułamki, więc 0,5 to 1/2.
- 3. Odczytaj wynik. Potęgi o całkowitych wynikach pojawiają się w całości, z liczbą cyfr i — dla dużych wartości — zapisem naukowym. Ujemne wykładniki dają ułamek i jego wartość dziesiętną; pierwiastki dają dokładną odpowiedź, gdy istnieje, a w przeciwnym razie wartość dziesiętną z wybraną liczbą miejsc po przecinku.
- 4. Prześledź obliczenia i prawa. Poniższe kroki pokazują, jak zbudowano potęgę, a tabela praw sprawdza reguły iloczynu, ilorazu i potęgi dla twojej podstawy.
Czym jest wykładnik
Dla liczby całkowitej n ≥ 1 bⁿ oznacza b pomnożone przez siebie n razy: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Każdy inny rodzaj wykładnika jest zdefiniowany tak, by te same reguły dalej działały. Wykładnik zerowy daje 1 (dla b ≠ 0), bo b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Wykładnik ujemny to odwrotność: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, więc 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Wykładnik ułamkowy to pierwiastek i potęga: b^(p/q) to pierwiastek q-tego stopnia z b podniesiony do potęgi p, więc 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
| Prawo | Reguła | Przykład |
|---|---|---|
| Iloczynu | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Ilorazu | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| Potęgi potęgi | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Potęgi iloczynu | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| Ujemnego wykładnika | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Wykładnika zerowego | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
Przykład krok po kroku: 2¹³ przez kolejne podnoszenie do kwadratu
Przy większych wykładnikach całkowitych kalkulator pokazuje, jak komputer albo cierpliwy człowiek buduje potęgę za pomocą kilku mnożeń. Zapisz wykładnik w systemie binarnym, podnoś podstawę do kwadratu wielokrotnie i pomnóż kwadraty odpowiadające jedynkom.
- 13 w systemie binarnym to 1101, więc 13 = 1 + 4 + 8.
- Kolejne podnoszenie do kwadratu: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Pomnóż odpowiadające potęgi: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
- Trzy podniesienia do kwadratu i dwa mnożenia zastępują dwanaście mnożeń wykonywanych jedno po drugim.
Bardzo duże wyniki
Potęgi całkowite są obliczane dokładną arytmetyką dużych liczb całkowitych, więc nie ma zaokrągleń przy żadnej wielkości: 2¹⁰⁰ to 1267650600228229401496703205376 co do ostatniej cyfry, a arytmetyka zmiennoprzecinkowa mogłaby podać jedynie przybliżenie 1,2676506002282294 × 10³⁰. Wyniki do 20 000 cyfr są zapisywane w całości; powyżej tego kalkulator podaje przybliżenie rzędu wielkości z logarytmów (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) i mówi o tym wprost.
Konwencje, które warto znać
- 0⁰ = 1. To konwencja w kombinatoryce, szeregach potęgowych i większości oprogramowania; niektóre podręczniki analizy zostawiają ten przypadek niezdefiniowany, a kalkulator go oznacza.
- Zero w ujemnej potędze jest niezdefiniowane, bo oznaczałoby dzielenie przez zero.
- Ujemne podstawy z ułamkowymi wykładnikami. Wykładnik jest najpierw sprowadzany do najprostszej postaci. Jeśli jego mianownik jest nieparzysty, używany jest rzeczywisty pierwiastek, więc (−8)^(1/3) = −2, a (−8)^(2/3) = 4. Jeśli jest parzysty, nie ma rzeczywistej odpowiedzi: (−4)^(1/2) to liczba zespolona 2i.
- −2² i (−2)² różnią się. Zapisane jako wyrażenie, −2² oznacza −(2²) = −4. Tutaj podstawą jest liczba, więc wpisanie −2 z wykładnikiem 2 daje 4.
Najczęstsze pytania
- Czym jest ujemny wykładnik?
- Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie ujemny wynik. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Znak odpowiedzi zależy tylko od podstawy, więc (−2)⁻³ = −1/8.
- Co oznacza ułamkowy wykładnik?
- Mianownik to pierwiastek, a licznik to potęga. 27^(2/3) to pierwiastek sześcienny z 27, czyli 3, podniesiony do kwadratu, co daje 9. Wykładnik 1/2 to pierwiastek kwadratowy, więc 9^0,5 = 3.
- Dlaczego każda liczba podniesiona do potęgi zero równa się 1?
- Tego wymaga reguła ilorazu: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, a każda niezerowa liczba podzielona przez siebie daje 1. Przypadek 0⁰ to osobna konwencja, zwykle przyjmowana jako 1.
- Czy 2^(3²) to to samo co (2³)²?
- Nie. Stos wykładników oblicza się od góry w dół, więc 2^(3²) = 2⁹ = 512, a (2³)² = 8² = 64. Aby uzyskać pierwszy wynik, wpisz 9 jako wykładnik; dla drugiego wpisz 6.
- Czy (a + b)² równa się a² + b²?
- Nie. (a + b)² = a² + 2ab + b². Prawa wykładników stosują się do iloczynów, jak (ab)², ale nie do sum. Dla a = 3 i b = 4 mamy (3 + 4)² = 49, podczas gdy 3² + 4² = 25.
- Jak znaleźć dokładną wartość bardzo dużej potęgi?
- Użyj arytmetyki dużych liczb całkowitych, a nie kalkulatora zmiennoprzecinkowego. To narzędzie robi to dla wykładników całkowitych i pokazuje każdą cyfrę wyniku, do 20 000 cyfr.