Kalkulator silni

Wyniki

Obliczenia

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, więc każda silnia to poprzednia pomnożona przez 20.
• Każde zero końcowe pochodzi z czynnika 10 = 2 × 5, a piątek jest mniej niż dwójek. Liczenie: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• Podwójna silnia mnoży co drugą liczbę: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3 715 891 200.
• Wzór Stirlinga √(2πn) (n/e)ⁿ daje około 2.4227868 × 10^18, czyli o 0,416% poniżej dokładnej wartości.

Jak korzystać z kalkulatora silni

1. 1. Wpisz n. Dowolna liczba całkowita od 0 do 10 000. Wynik aktualizuje się podczas pisania.
2. 2. Odczytaj dokładną wartość. Małe silnie pojawiają się z grupowaniem cyfr. Większe pokazują nagłówek w notacji naukowej oraz wszystkie cyfry w przewijanym polu z przyciskiem kopiowania.
3. 3. Sprawdź dodatkowe dane. Dostajesz też liczbę cyfr, zera końcowe, podwójną silnię n!! oraz przybliżenie Stirlinga z informacją, o ile jest ono niższe od n!.
4. 4. Spróbuj liczby dziesiętnej. Dla wartości takiej jak 4,5 kalkulator zwraca Γ(5,5) = 4,5!, ponieważ funkcja gamma rozszerza silnię na każdą liczbę poza ujemnymi liczbami całkowitymi.

Czym jest silnia

Silnia nieujemnej liczby całkowitej n, zapisywana n!, to iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Liczy ona, na ile sposobów można ustawić n różnych rzeczy w rzędzie — trzy książki można poustawiać na półce w 3! = 6 kolejnościach — i jest podstawą permutacji, kombinacji oraz dwumianu Newtona. Każda silnia to poprzednia pomnożona przez n: n! = n × (n − 1)!.

Dlaczego 0! równa się 1? Według reguły n! = n × (n − 1)! aż do n = 1 mamy 1! = 1 × 0!, co działa tylko wtedy, gdy 0! = 1. Pasuje to też do znaczenia liczenia (istnieje dokładnie jeden sposób ustawienia niczego) i do faktu, że pusty iloczyn z umowy wynosi 1.

Zera końcowe: wzór Legendre’a

Zero na końcu n! bierze się z czynnika 10 = 2 × 5. Dwójek zawsze jest więcej niż piątek, więc liczba zer końcowych równa się liczbie piątek w iloczynie 1 × 2 × … × n. Licz wielokrotności 5, dodaj wielokrotności 25 (każda ukrywa drugą piątkę), potem 125 i tak dalej: zera = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Dla 100! jest to 20 + 4 = 24 zera końcowe. 100! ma łącznie 158 cyfr.

Przybliżenie Stirlinga

Dla dużych n wartość n! przybliża się przez √(2πn) (n/e)ⁿ. Przybliżenie zawsze wypada nieco poniżej prawdziwej wartości, o względną wielkość około 1/(12n): o 0,83% dla n = 10 (3,5986956 × 10⁶ wobec 3 628 800) i o 0,083% dla n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ wobec 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Pomnożenie przez (1 + 1/(12n)) usuwa większość błędu. Przybliżenie pozwala oszacować rozmiar ogromnych silni samymi logarytmami.

Podwójna silnia i funkcja gamma

Podwójna silnia n!! mnoży co drugą liczbę w dół od n: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, a 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. To nie jest (n!)!. Umownie 0!! = 1, a n!! × (n − 1)!! = n!. Funkcja gamma Γ(x) uogólnia silnię: Γ(n + 1) = n! dla liczb całkowitych n, ale jest określona także dla liczb dziesiętnych, na przykład (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Nie ma wartości w zerze ani w ujemnych liczbach całkowitych, więc (−1)! i (−2)! nie istnieją.

Najczęstsze pytania

Dlaczego 0! równa się 1?

Bo reguła n! = n × (n − 1)! musi zachodzić dla n = 1, co daje 1 = 1 × 0!. Zgadza się to też ze znaczeniem liczenia: istnieje dokładnie jeden sposób ustawienia zera obiektów, a pusty iloczyn żadnych liczb wynosi 1.

Na ile zer kończy się 100!?

Na 24. Licz czynniki 5: ⌊100/5⌋ = 20 wielokrotności 5 plus ⌊100/25⌋ = 4 wielokrotności 25 daje 24, a dwójek jest dość, by połączyć się z nimi.

Czy można obliczyć silnię liczby ujemnej lub dziesiętnej?

Nie dla ujemnej liczby całkowitej, bo tam funkcja gamma ma bieguny. Liczby dziesiętne i ujemne niecałkowite działają przez Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 oraz (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Czym jest podwójna silnia?

n!! to iloczyn liczb od n w dół do 1 lub 2, co dwa kroki, więc 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105, a 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3 840. Różni się to od (n!)!, które byłoby ogromną liczbą.

Na ile sposobów można ułożyć 52 karty do gry?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, liczba o 68 cyfrach. Każda dobrze potasowana talia to, dla praktycznych celów, układ, którego nikt wcześniej nie trzymał w ręku.

Jak dokładne jest przybliżenie Stirlinga?

Jego względny błąd wynosi około 1/(12n), więc jest o 0,83% za niskie dla n = 10 i o 0,083% za niskie dla n = 100. Kalkulator pokazuje dokładny błąd dla twojego n oraz błąd po dodaniu poprawki 1/(12n).