Калькулятор факториала

Результаты

Ход вычислений

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, поэтому каждый факториал равен предыдущему, умноженному на 20.
• Каждый завершающий нуль возникает из множителя 10 = 2 × 5, а пятёрок меньше, чем двоек. Считаем их: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• Двойной факториал перемножает каждое второе число: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3 715 891 200.
• Формула Стирлинга √(2πn) (n/e)ⁿ даёт около 2.4227868 × 10^18, что на 0,416% меньше точного значения.

Как пользоваться калькулятором факториала

1. 1. Введите n. Любое целое число от 0 до 10 000. Результат обновляется по мере ввода.
2. 2. Прочитайте точное значение. Небольшие факториалы выводятся с разделением разрядов. Для больших показывается заголовок в научной нотации и все цифры в прокручиваемом поле с кнопкой копирования.
3. 3. Проверьте дополнительные значения. Вы также получаете число цифр, завершающие нули, двойной факториал n!! и приближение Стирлинга с тем, насколько оно меньше n!.
4. 4. Попробуйте дробное число. Для значения вроде 4,5 калькулятор возвращает Γ(5,5) = 4,5!, поскольку гамма-функция продолжает факториал на все числа, кроме отрицательных целых.

Что такое факториал

Факториал неотрицательного целого числа n, записываемый как n!, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Он считает, сколькими способами можно расставить n различных предметов в ряд: три книги можно поставить на полку 3! = 6 способами. Факториал лежит в основе перестановок, сочетаний и биномиальной теоремы. Каждый факториал равен предыдущему, умноженному на n: n! = n × (n − 1)!.

Почему 0! равно 1? По правилу n! = n × (n − 1)! при n = 1 получаем 1! = 1 × 0!, что верно только при 0! = 1. Это также согласуется с комбинаторным смыслом (ровно один способ расставить ничего) и с тем, что пустое произведение по соглашению равно 1.

Завершающие нули: формула Лежандра

Нуль в конце n! возникает из множителя 10 = 2 × 5. Двоек всегда больше, чем пятёрок, поэтому число завершающих нулей равно числу пятёрок в произведении 1 × 2 × … × n. Считаем кратные 5, добавляем кратные 25 (каждое из них содержит вторую пятёрку), затем кратные 125 и так далее: нулей = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Для 100! это 20 + 4 = 24 завершающих нуля. Всего 100! содержит 158 цифр.

Приближение Стирлинга

Для больших n факториал приближается формулой √(2πn) (n/e)ⁿ. Она всегда немного меньше истинного значения — на относительную величину около 1/(12n): на 0,83% при n = 10 (3,5986956 × 10⁶ против 3 628 800) и на 0,083% при n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ против 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Умножение на (1 + 1/(12n)) убирает большую часть ошибки. Приближение позволяет оценить размер огромных факториалов по одним только логарифмам.

Двойной факториал и гамма-функция

Двойной факториал n!! перемножает каждое второе число, начиная с n: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, а 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Это не (n!)!. По соглашению 0!! = 1, а n!! × (n − 1)!! = n!. Гамма-функция Γ(x) обобщает факториал: Γ(n + 1) = n! для целых n, и она определена также для дробных чисел, например (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. В нуле и отрицательных целых числах значения у неё нет, поэтому (−1)! и (−2)! не существуют.

Часто задаваемые вопросы

Почему 0! равно 1?

Потому что правило n! = n × (n − 1)! должно выполняться при n = 1, что даёт 1 = 1 × 0!. Это также соответствует комбинаторному смыслу: ровно один способ расставить ноль предметов, а пустое произведение чисел равно 1.

На сколько нулей заканчивается 100!?

На 24. Считаем множители 5: ⌊100/5⌋ = 20 кратных 5 и ⌊100/25⌋ = 4 кратных 25 дают 24, а двоек достаточно, чтобы составить с ними пары.

Можно ли взять факториал отрицательного числа или дроби?

Отрицательного целого — нельзя: у гамма-функции там полюсы. Дробные и отрицательные нецелые числа работают через Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 и (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Что такое двойной факториал?

n!! — это произведение чисел от n вниз до 1 или 2 с шагом два: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 и 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3 840. Это не то же самое, что (n!)!, — последнее было бы огромным числом.

Сколькими способами можно расположить 52 игральные карты?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, 68-значное число. Любая тщательно перетасованная колода — с практической точки зрения расклад, которого раньше не было ни у кого в руках.

Насколько точно приближение Стирлинга?

Его относительная ошибка составляет около 1/(12n), поэтому оно меньше истинного значения на 0,83% при n = 10 и на 0,083% при n = 100. Калькулятор показывает точную ошибку для вашего n и ошибку после добавления поправки 1/(12n).