Calcolatore di Fattoriali

Risultati

Il procedimento

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, quindi ogni fattoriale è quello precedente moltiplicato per 20.
• Ogni zero finale nasce da un fattore 10 = 2 × 5, e i fattori 5 sono meno frequenti dei 2. Contandoli: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• Il doppio fattoriale moltiplica ogni secondo numero: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
• La formula di Stirling √(2πn) (n/e)ⁿ dà circa 2.4227868 × 10^18, che è inferiore di 0,416% rispetto al valore esatto.

Come usare il calcolatore di fattoriali

1. 1. Inserisci n. Un intero qualsiasi da 0 a 10.000. Il risultato si aggiorna mentre digiti.
2. 2. Leggi il valore esatto. I fattoriali piccoli compaiono con i separatori delle migliaia. Quelli più grandi mostrano in evidenza un valore in notazione scientifica e tutte le cifre in una casella scorrevole, con un pulsante di copia.
3. 3. Controlla i dettagli. Ottieni anche il numero di cifre, gli zeri finali, il doppio fattoriale n!! e l'approssimazione di Stirling con quanto è inferiore a n!.
4. 4. Prova un decimale. Per un valore come 4,5 il calcolatore restituisce Γ(5,5) = 4,5!, perché la funzione gamma estende il fattoriale a ogni numero tranne gli interi negativi.

Che cos'è un fattoriale

Il fattoriale di un intero non negativo n, scritto n!, è il prodotto di tutti gli interi da 1 fino a n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Conta i modi in cui si possono disporre in fila n oggetti distinti (tre libri si possono sistemare in 3! = 6 ordini diversi) ed è il mattone di base di permutazioni, combinazioni e del teorema binomiale. Ogni fattoriale è il precedente moltiplicato per n: n! = n × (n − 1)!.

Perché 0! è uguale a 1? Seguendo la regola n! = n × (n − 1)! fino a n = 1 si ottiene 1! = 1 × 0!, che vale solo se 0! = 1. Concorda anche con il significato di conteggio (esiste esattamente un modo di disporre il nulla) e con il fatto che, per convenzione, un prodotto vuoto vale 1.

Zeri finali: la formula di Legendre

Uno zero alla fine di n! nasce da un fattore 10 = 2 × 5. I fattori 2 sono sempre più numerosi dei fattori 5, quindi il numero di zeri finali è uguale al numero di 5 in 1 × 2 × … × n. Si contano i multipli di 5, si aggiungono i multipli di 25 (ognuno nasconde un secondo 5), poi quelli di 125 e così via: zeri = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Per 100! sono 20 + 4 = 24 zeri finali. In tutto, 100! ha 158 cifre.

Approssimazione di Stirling

Per n grandi, n! si approssima con √(2πn) (n/e)ⁿ. L'approssimazione risulta sempre leggermente inferiore al valore vero, di una quantità relativa di circa 1/(12n): dello 0,83% per n = 10 (3,5986956 × 10⁶ contro 3.628.800) e dello 0,083% per n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ contro 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Moltiplicando per (1 + 1/(12n)) si elimina gran parte dell'errore. L'approssimazione permette di stimare la grandezza di fattoriali enormi usando solo i logaritmi.

Doppio fattoriale e funzione gamma

Il doppio fattoriale n!! moltiplica ogni secondo numero a partire da n: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 e 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Non è (n!)!. Per convenzione 0!! = 1, e n!! × (n − 1)!! = n!. La funzione gamma Γ(x) generalizza il fattoriale: Γ(n + 1) = n! per n intero, ed è definita anche per i decimali, come (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Non ha valore in zero né negli interi negativi, quindi (−1)! e (−2)! non esistono.

Domande frequenti

Perché 0! è uguale a 1?

Perché la regola del fattoriale n! = n × (n − 1)! deve valere per n = 1, cosa che dà 1 = 1 × 0!. Concorda anche con il significato di conteggio: esiste esattamente un modo di disporre zero oggetti, e il prodotto vuoto di nessun numero vale 1.

Quanti zeri finali ha 100!?

24. Si contano i fattori 5: ⌊100/5⌋ = 20 multipli di 5 più ⌊100/25⌋ = 4 multipli di 25 danno 24, e ci sono abbastanza 2 da abbinare a questi 5.

Si può calcolare il fattoriale di un numero negativo o di un decimale?

Non di un intero negativo, dove la funzione gamma ha poli. I decimali e i non interi negativi funzionano tramite Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 e (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Che cos'è un doppio fattoriale?

n!! è il prodotto dei numeri da n scendendo fino a 1 o a 2, a passi di due: quindi 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 e 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. È diverso da (n!)!, che sarebbe un numero enorme.

In quanti modi si possono disporre 52 carte da gioco?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, un numero di 68 cifre. Un mazzo mescolato a fondo è, in pratica, una disposizione che nessuno ha mai avuto prima.

Quanto è accurata l'approssimazione di Stirling?

Il suo errore relativo è di circa 1/(12n), quindi è inferiore dello 0,83% per n = 10 e dello 0,083% per n = 100. Il calcolatore mostra l'errore esatto per il tuo n e l'errore dopo la correzione 1/(12n).