Calcolatore dello sviluppo binomiale
Inserisci i due termini di un binomio e una potenza n, e ottieni lo sviluppo completo di (a + b)ⁿ con coefficienti esatti, una tabella di ogni termine e la formula del termine generale. Chiedi il 3º termine, oppure il coefficiente di x⁴, o il termine senza x. I termini possono essere numeri, una lettera come x, o entrambi — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Gratuito, senza registrazione.
Un numero, una variabile o entrambi: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Una sola lettera.
Un intero da 0 a 100.
Da 1 a n + 1, contando dal primo termine.
Inserisci p. Usa 0 per il termine senza x.
Risultati
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Sviluppo di (2x + 3)⁵
6
Termini dopo la riduzione dei simili
3125
Somma dei coefficienti
Termine generale
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, per k = 0, 1, …, 5
Ponendo ogni variabile uguale a 1, lo sviluppo diventa un numero: (2 + 3)⁵ = 3125.
Termine 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Termine per termine
| k | C(n, k) | parte a | parte b | Termine |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Come usare il Calcolatore dello sviluppo binomiale
- 1. Inserisci i due termini. Scrivi a e b come faresti su carta:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Un termine può usare una lettera, e i due termini possono usare la stessa lettera o lettere diverse. Metti il segno di b in b: per (x − 2)ⁿ inserisci-2. - 2. Inserisci la potenza. Un qualsiasi intero da 0 a 100.
- 3. Facoltativamente cerca un termine. Scrivi un numero di termine per vedere come è costruito, oppure una potenza p per ottenere il coefficiente di xᵖ — usa 0 per il termine senza x.
- 4. Leggi i risultati. Lo sviluppo appare in cima, con la somma dei suoi coefficienti, la formula del termine generale e una tabella che mostra il coefficiente binomiale di ogni termine e le sue parti a e b.
Il teorema binomiale
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Andando dal primo termine all'ultimo, la potenza di a scende da n a 0 mentre quella di b sale da 0 a n, e le due potenze danno sempre n in totale. I coefficienti C(n, k) sono gli elementi della riga n del triangolo di Tartaglia (Pascal): 1, 4, 6, 4, 1 per n = 4. Il termine generale, cioè il (k + 1)-esimo termine, è T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, e uno sviluppo di (a + b)ⁿ ha n + 1 termini prima che eventuali termini simili si combinino.
Esempi svolti
- (2x + 3)⁵. I coefficienti sono 1, 5, 10, 10, 5, 1, e ogni termine usa (2x)⁵⁻ᵏ e 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. Il 3º termine è C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Come verifica, ponendo x = 1 si ottiene (2 + 3)⁵ = 3125, che è esattamente la somma dei coefficienti.
- (x − 2)³. Con b = −2 i segni si alternano: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Coefficiente di x³ in (1 + x)¹⁰. Inserisci a = 1, b = x, n = 10 e chiedi p = 3. Il termine è C(10, 3)·1⁷·x³, quindi il coefficiente è 120.
- Il termine senza x in (x² + 1/x)⁶. Inserisci a =
x^2, b =x^-1. Il termine k ha x alla potenza 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Questo vale 0 quando k = 4, quindi il termine costante è C(6, 4) = 15.
| Errore comune | Approccio corretto |
|---|---|
| Scrivere (2x)⁵ come 2x⁵ | L'intero termine viene elevato alla potenza: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Perdere il segno di b | Tratta (x − 2)ⁿ come (x + (−2))ⁿ, così le potenze dispari di b sono negative |
| Contare i termini da 1 nella formula | Il numero di termine r usa k = r − 1, quindi il primo termine ha k = 0 |
| Sviluppare (a + b)⁻¹ o (a + b)^(1/2) così | Quegli sviluppi sono serie infinite, non somme finite — vedi il Taylor Series Calculator |
Domande frequenti
- Come si sviluppa (a + b)^n?
- Somma C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ per k da 0 a n. I coefficienti C(n, k) provengono dalla riga n del triangolo di Tartaglia. Per (x + 1)⁴ i coefficienti 1, 4, 6, 4, 1 danno x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Come si trova un termine specifico di uno sviluppo binomiale?
- Usa il termine generale T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Il 4º termine ha k = 3. Per trovare invece il termine che contiene xᵖ, calcola la potenza di x nel termine k, imponila uguale a p, risolvi per k e poi calcola quel termine.
- Come si trova il termine indipendente da x?
- Scrivi la potenza di x nel termine generale come funzione di k, imponila uguale a 0 e risolvi per k. Se k è un intero da 0 a n, il termine costante è C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; se no, non c'è alcun termine costante. Inserisci p = 0 nel calcolatore per farlo automaticamente.
- Quanti termini ha uno sviluppo binomiale?
- n + 1 termini per (a + b)ⁿ, da k = 0 a k = n. Alcuni possono combinarsi o annullarsi quando a e b contengono la stessa variabile. (x + x)ⁿ si riduce a un solo termine, 2ⁿxⁿ.
- Qual è la somma dei coefficienti?
- Poni ogni variabile uguale a 1: la somma dei coefficienti di (ax + b)ⁿ è (a + b)ⁿ. Per (2x + 3)⁵ è 5⁵ = 3125. È un controllo rapido del tuo sviluppo.
- La potenza può essere negativa o frazionaria?
- Non con il teorema binomiale finito. (1 + x)⁻¹ e (1 + x)^(1/2) si sviluppano in serie infinite, valide per |x| < 1, che il Taylor Series Calculator gestisce. Per potenze intere da 0 a 100 questo calcolatore dà sviluppi finiti esatti.
- Che rapporto c'è con il triangolo di Tartaglia?
- La riga n del triangolo di Tartaglia elenca C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), che sono esattamente i coefficienti di (a + b)ⁿ quando a e b hanno coefficiente 1. Il Pascal's Triangle Generator stampa tutte le righe che vuoi.