Calcolatore di autovalori
Inserisci una matrice quadrata fino a 6 × 6 e ottieni autovalori e autovettori, il polinomio caratteristico, i controlli di traccia e determinante e la diagonalizzazione A = PDP⁻¹ quando esiste. Gli autovalori escono in forma esatta — come frazioni, radicali o numeri complessi — ogni volta che il polinomio lo consente, e numericamente altrimenti. Gratuito, senza registrazione, e tutto funziona nel tuo browser.
Numeri interi, decimali o frazioni come 3/4.
Risultati
Autovalori (ripetuti secondo la molteplicità algebrica)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
Traccia
10
Determinante
Esatto
Metodo
No
Simmetrica?
Sì
Diagonalizzabile?
Verifica: gli autovalori sommati danno la traccia, 7, e moltiplicati danno il determinante, 10.
Polinomio caratteristico
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Teorema delle radici razionali: una radice razionale è un divisore del termine noto diviso per un divisore del coefficiente direttivo. Radici trovate: 2, 5.
Autovalori e autovettori
Ogni autovettore risolve (A − λI)v = 0. Ogni suo multiplo non nullo è anch'esso un autovettore.
λ = 2
molteplicità algebrica 1, molteplicità geometrica 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
molteplicità algebrica 1, molteplicità geometrica 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Diagonalizzazione
Gli autovettori formano le colonne di P, e A = P D P⁻¹ con D la matrice diagonale degli autovalori.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Come usare il calcolatore di autovalori
- 1. Scegli la dimensione. Scegli n da 2 a 6 e compila la matrice n × n. Frazioni come 3/4 e decimali vengono letti esattamente.
- 2. Leggi gli autovalori. Sono elencati con le ripetizioni secondo la molteplicità algebrica, accanto a traccia e determinante come verifica rapida: gli autovalori sommati danno la traccia e moltiplicati danno il determinante.
- 3. Segui il polinomio caratteristico. Il calcolatore scrive p(λ) = det(λI − A), estrae le radici razionali e risolve ciò che resta con la formula quadratica.
- 4. Controlla gli autovettori. Per ciascun autovalore vedi A − λI e una base del suo autospazio, più P e D quando A è diagonalizzabile sui razionali.
Che cosa sono autovalori e autovettori
Un autovettore di una matrice quadrata A è un vettore v non nullo che A si limita ad allungare, senza mai ruotarlo: Av = λv. Lo scalare λ è l'autovalore. Riordinando, (A − λI)v = 0 ha una soluzione non nulla solo quando A − λI è singolare, cioè esattamente quando det(A − λI) = 0. Questa equazione è l'equazione caratteristica, e il polinomio è il polinomio caratteristico. Il calcolatore usa la forma monica det(λI − A), che differisce da det(A − λI) solo per il fattore (−1)ⁿ e ha le stesse radici.
| Termine | Significato |
|---|---|
| Molteplicità algebrica | Quante volte λ è radice del polinomio caratteristico |
| Molteplicità geometrica | La dimensione dell'autospazio: quanti autovettori indipendenti ha λ |
| Diagonalizzabile | A ha n autovettori indipendenti, quindi A = PDP⁻¹; questo richiede molteplicità geometrica uguale a quella algebrica per ogni autovalore |
| Difettiva | Qualche autovalore ha molteplicità geometrica inferiore a quella algebrica |
La molteplicità geometrica non è mai maggiore di quella algebrica. Le matrici reali simmetriche sono sempre diagonalizzabili, con autovalori reali.
Risposte esatte e risposte numeriche
Il polinomio caratteristico è calcolato esattamente, quindi non c'è arrotondamento. Le radici razionali si trovano con il teorema delle radici razionali e si dividono via. Se resta un'equazione di secondo grado, la formula quadratica dà in forma chiusa i due autovalori rimanenti, anche complessi, e gli autovettori si risolvono esattamente nello stesso sistema numerico. Questo copre ogni matrice 2 × 2, ogni matrice 3 × 3 il cui polinomio caratteristico ha una radice razionale e le matrici più grandi che si spezzano in radici razionali più un'equazione di secondo grado.
Quando il polinomio non si fattorizza così — un cubico irriducibile, o un quartico con radici irrazionali — il calcolatore passa all'algoritmo QR in doppia precisione. Riduce la matrice a forma di Hessenberg, applica passi QR con shift finché la sottodiagonale si annulla, e trova gli autovettori per iterazione inversa. Aspettati circa dieci cifre corrette per una matrice ben condizionata. Un autovalore la cui parte immaginaria è inferiore a 10⁻⁹ della sua dimensione è mostrato come reale, e la pagina indica quale metodo ha usato.
Esempi svolti
A = [4 1; 2 3]. La traccia è 7 e il determinante 10, quindi p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Per λ = 2 l'autovettore è (1, −2), e per λ = 5 è (1, 1). Allora P ha colonne (1, −2) e (1, 1), D = diag(2, 5), e A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (la matrice di Fibonacci). Qui p(λ) = λ² − λ − 1 ha discriminante 5 e nessuna radice razionale, quindi gli autovalori sono (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 — il rapporto aureo — e (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, con autovettore ((1 + √5)/2, 1) per il primo.
A = [0 −1; 1 0], una rotazione di 90°, ha p(λ) = λ² + 1, quindi i suoi autovalori sono i e −i: nessun vettore reale mantiene la sua direzione. La matrice di permutazione ciclica con righe (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) ha p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), quindi i suoi autovalori sono 1 e le radici cubiche complesse dell'unità (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] ha λ = 2 con molteplicità algebrica 2 ma una sola direzione di autovettore, quindi è difettiva e non è diagonalizzabile.
La matrice tridiagonale 4 × 4 con 2 sulla diagonale e −1 accanto ha uno spettro irrazionale, quindi viene calcolata numericamente: i suoi autovalori sono 0,381966, 1,381966, 2,618034 e 3,618034, che coincidono con 2 − 2cos(kπ/5) per k da 1 a 4.
Domande frequenti
- Come si trovano gli autovalori di una matrice 2×2?
- Calcola la traccia e il determinante, scrivi λ² − (traccia)λ + (determinante) = 0 e risolvila. Per [4 1; 2 3] è λ² − 7λ + 10 = 0, quindi λ = 2 e λ = 5. Se il discriminante è negativo, gli autovalori sono complessi coniugati.
- Come si trovano gli autovettori una volta noti gli autovalori?
- Per ogni autovalore λ, risolvi (A − λI)v = 0, di solito con la riduzione per righe. Le soluzioni formano l'autospazio; ogni vettore non nullo al suo interno è un autovettore, quindi gli autovettori sono definiti solo a meno di un multiplo scalare.
- Una matrice reale può avere autovalori complessi?
- Sì. Gli autovalori complessi di una matrice reale compaiono in coppie coniugate. Una rotazione del piano di un angolo diverso da 0° o 180° non ha autovettori reali, quindi i suoi autovalori sono complessi.
- Che cosa significa se un autovalore è 0?
- La matrice è singolare: det A = 0 perché il determinante è il prodotto degli autovalori, e gli autovettori relativi a 0 sono le soluzioni non nulle di Ax = 0. La molteplicità di 0 indica quanto spazio la matrice comprime.
- Quando una matrice è diagonalizzabile?
- Quando ha n autovettori linearmente indipendenti. Autovalori distinti lo garantiscono, e lo garantisce anche una matrice reale simmetrica. Un autovalore ripetuto può impedirlo se il suo autospazio è troppo piccolo, come in [2 1; 0 2].
- Perché alcuni autovalori sono mostrati come decimali?
- Per le matrici 5 × 5 e 6 × 6, e per i cubici senza radice razionale, non esiste una formula radicale che questo strumento applichi, quindi usa l'algoritmo QR. Questi valori sono accurati a circa dieci cifre; il polinomio caratteristico mostrato accanto è comunque esatto.