Calcolatore di Integrali Definiti

Risultati

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Come usare il calcolatore di integrali definiti

1. 1. Scrivi la funzione. Usa x come variabile: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). La moltiplicazione può essere omessa, quindi 2x e x sin x funzionano.
2. 2. Inserisci i limiti. Usa numeri o costanti come 0, -2 o pi/2. Per un integrale improprio, scrivi inf o -inf per un limite infinito.
3. 3. Leggi il valore e il suo errore. La stima dell'errore assoluto indica quante delle cifre mostrate sono affidabili. Se f cambia segno, l'area totale senza segno ∫|f| è mostrata accanto all'area netta con segno.
4. 4. Controlla le note e il grafico. Ogni singolarità, limite infinito o problema di convergenza è segnalato in parole semplici, e il grafico ombreggia l'area sopra l'asse (blu) e quella sotto (arancione).

Come viene calcolato l'integrale

Il metodo predefinito è la quadratura adattiva di Gauss–Kronrod, la stessa su cui si basa QUADPACK. Su ogni sottointervallo si valutano una regola di Gauss a 7 punti e una regola di Kronrod a 15 punti in punti annidati; il valore di Kronrod è la stima, e lo scarto tra le due è la stima dell'errore. Il sottointervallo con l'errore maggiore viene diviso in due, e il processo si ripete finché l'errore totale è inferiore a 10⁻¹⁰ del risultato (o 10⁻¹² in assoluto). Per funzioni regolari si ottengono di solito da 12 a 14 cifre corrette con poche centinaia di valutazioni, o meno.

Un limite infinito viene trasformato sull'intervallo [0, 1) con x = a + t/(1 − t). Quando f non è finita in un estremo, come ln x o 1/√x in 0, il calcolatore passa alla quadratura tanh–sinh (a doppia esponenziale), che gestisce singolarità integrabili agli estremi; questi risultati sono riportati con circa otto cifre. Per il contesto sui metodi di quadratura, vedi la Digital Library of Mathematical Functions del NIST, §3.5.

Esempi svolti

Singolarità, divergenza e relativi avvisi

• Singolarità integrabile. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 e ∫₀¹ ln x dx = −1 sono finiti, anche se la funzione diverge in 0. Il calcolatore segnala l'estremo improprio e usa la regola tanh–sinh.
• Divergenza. Per ∫₀¹ 1/x dx l'area continua a crescere man mano che ci si avvicina a 0. Lo strumento verifica integrando fino a punti sempre più vicini al punto critico; se gli incrementi non diminuiscono, segnala la divergenza invece di un valore. Lo stesso test respinge ∫₋₁¹ 1/x dx: le sue due metà si annullano (un valore principale di 0), ma ciascuna diverge da sola, quindi l'integrale non esiste.
• Non reale su una parte dell'intervallo. ∫₋₁¹ √x dx non ha valore, poiché √x non è reale per x negativi. Il calcolatore indica il punto in cui f smette di essere definita.
• Picchi stretti. Qualsiasi regola numerica può perdere una caratteristica molto più stretta della sua spaziatura di campionamento. L'intervallo viene prima diviso in otto pannelli per aiutare, ma se sospetti un picco, dividi tu l'integrale in quel punto.

Domande frequenti

Che cosa rappresenta un integrale definito?

È l'area netta con segno tra la curva y = f(x) e l'asse x da a a b: l'area sopra l'asse conta positiva, quella sotto negativa. Equivale anche alla variazione accumulata di qualsiasi grandezza la cui velocità di variazione è f(x), per il teorema fondamentale del calcolo.

Perché l'integrale è 0 ma l'area non è 0?

Per sin x su [0, 2π] la parte sopra l'asse e quella sotto si annullano, quindi l'integrale netto è 0, ma l'area geometrica è 4. Il calcolatore mostra entrambi ogni volta che la funzione cambia segno: l'integrale di |f| dà l'area totale.

Quanto è accurato il risultato?

Per funzioni regolari la stima dell'errore è tipicamente intorno a 10⁻¹³ o inferiore, e il valore è riportato con dieci cifre significative. Per gli integrali impropri e i limiti infiniti l'accuratezza dichiarata è di circa otto cifre. L'errore mostrato è una stima dell'errore numerico, non un limite garantito matematicamente.

Che cos'è un integrale improprio?

È un integrale con un limite infinito, oppure in cui la funzione non è limitata in un punto dell'intervallo. È definito come un limite, e converge solo se quel limite è finito: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 converge, ma ∫₁^∞ 1/x dx no.

Può dare la primitiva?

No. Calcola l'integrale numericamente, il che funziona anche per funzioni senza primitiva elementare, come e^(−x²) o sin(x)/x. Per il lavoro simbolico con i passaggi c'è il Calcolatore di Derivate.

Come integro sin(x)/x attraverso 0?

Inseriscila semplicemente con limiti che includano 0, per esempio da −1 a 1. La funzione non è definita esattamente in 0 ma ha limite 1 lì, e l'intervallo viene diviso in modo che il punto stesso non venga mai campionato; il risultato è 1,892166141, cioè 2·Si(1).

E se la mia funzione ha un parametro, come a·x²?

Sostituisci prima il parametro con un numero. Un integrale definito è un singolo numero, quindi ogni lettera diversa dalla variabile di integrazione deve avere un valore. Qualsiasi lettera può essere la variabile, ma una sola.