Kalkulator Integral Tentu

Hasil

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Cara Menggunakan Kalkulator Integral Tentu

1. 1. Ketik fungsinya. Gunakan x sebagai variabel: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). Tanda perkalian boleh dihilangkan, sehingga 2x dan x sin x juga dapat dipakai.
2. 2. Masukkan batasnya. Gunakan angka atau konstanta seperti 0, -2 atau pi/2. Untuk integral tak wajar, ketik inf atau -inf untuk batas tak hingga.
3. 3. Baca nilai dan galatnya. Estimasi galat absolut menunjukkan berapa digit yang dicetak dapat dipercaya. Jika f berubah tanda, total luas tanpa tanda ∫|f| ditampilkan di samping luas bersih bertanda.
4. 4. Periksa catatan dan grafiknya. Setiap singularitas, batas tak hingga, atau masalah konvergensi dilaporkan dengan kata-kata sederhana, dan grafik mengarsir luas di atas sumbu (biru) dan di bawahnya (oranye).

Cara Integral Dihitung

Metode bawaannya adalah Gauss–Kronrod adaptif, skema di balik QUADPACK. Pada setiap subinterval, aturan Gauss 7 titik dan aturan Kronrod 15 titik dievaluasi pada titik-titik yang tersarang; nilai Kronrod adalah estimasinya dan selisih keduanya adalah estimasi galat. Subinterval dengan galat terbesar dibagi dua, dan prosesnya diulang hingga total galat berada di bawah 10⁻¹⁰ dari hasil (atau 10⁻¹² secara absolut). Untuk fungsi yang halus, ini biasanya memberikan 12 hingga 14 digit yang benar dengan beberapa ratus evaluasi atau kurang.

Batas tak hingga dipetakan ke [0, 1) dengan x = a + t/(1 − t). Bila f tidak hingga pada suatu ujung, seperti ln x atau 1/√x di 0, kalkulator beralih ke kuadratur tanh–sinh (double-exponential), yang menangani singularitas integrabel pada ujung; hasil tersebut dilaporkan hingga sekitar delapan digit. Lihat Digital Library of Mathematical Functions dari NIST, §3.5 untuk latar belakang kuadratur.

Contoh Kasus

Singularitas, Divergensi dan Peringatannya

• Singularitas yang dapat diintegralkan. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 dan ∫₀¹ ln x dx = −1 bernilai hingga meskipun integrannya membesar tanpa batas di 0. Kalkulator mencatat ujung yang tak wajar dan memakai aturan tanh–sinh.
• Divergensi. Untuk ∫₀¹ 1/x dx, luasnya terus bertambah ketika Anda berhenti semakin dekat ke 0. Alat ini menguji hal tersebut dengan mengintegralkan sampai titik-titik yang semakin dekat ke titik bermasalah; jika penambahannya tidak mengecil, ia melaporkan divergensi alih-alih nilai. Pengujian yang sama menolak ∫₋₁¹ 1/x dx: kedua bagiannya saling meniadakan (nilai utama 0), tetapi masing-masing divergen sendiri, sehingga integralnya tidak ada.
• Tidak real pada sebagian interval. ∫₋₁¹ √x dx tidak memiliki nilai, karena √x tidak real untuk x negatif. Kalkulator menyebutkan titik tempat f berhenti terdefinisi.
• Lonjakan sempit. Aturan numerik apa pun dapat melewatkan fitur yang jauh lebih sempit daripada jarak sampelnya. Interval pertama-tama dibagi menjadi delapan panel untuk membantu, tetapi jika Anda curiga ada lonjakan, bagi integral di titik itu sendiri.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa yang direpresentasikan oleh integral tentu?

Itu adalah luas bertanda bersih antara kurva y = f(x) dan sumbu x dari a ke b: luas di atas sumbu dihitung positif, dan luas di bawahnya negatif. Ia juga sama dengan perubahan kumulatif dari besaran apa pun yang laju perubahannya adalah f(x), menurut Teorema Dasar Kalkulus.

Mengapa integralnya 0 tetapi luasnya tidak 0?

Untuk sin x pada [0, 2π], bagian di atas sumbu dan bagian di bawahnya saling meniadakan, sehingga integral bersihnya 0, tetapi luas geometrisnya 4. Kalkulator menampilkan keduanya setiap kali fungsi berubah tanda: integral dari |f| memberikan total luas.

Seberapa akurat hasilnya?

Untuk fungsi yang halus, estimasi galatnya biasanya sekitar 10⁻¹³ atau lebih kecil, dan nilainya dilaporkan hingga sepuluh digit signifikan. Untuk integral tak wajar dan batas tak hingga, akurasi yang dinyatakan sekitar delapan digit. Galat yang ditampilkan adalah estimasi galat numerik, bukan batas yang dijamin secara matematis.

Apa itu integral tak wajar?

Integral dengan batas tak hingga, atau integran yang tidak terbatas di suatu titik pada interval. Ia didefinisikan sebagai limit, dan hanya konvergen jika limit itu hingga: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 konvergen, tetapi ∫₁^∞ 1/x dx tidak.

Dapatkah ia memberikan antiturunannya?

Tidak. Ia menghitung integral secara numerik, yang juga bekerja untuk fungsi yang tidak memiliki antiturunan elementer, seperti e^(−x²) atau sin(x)/x. Kalkulator Turunan adalah alat untuk pekerjaan simbolik dengan langkah-langkah.

Bagaimana cara mengintegralkan sin(x)/x melewati 0?

Masukkan saja dengan batas yang melintasi 0, seperti −1 sampai 1. Fungsinya tidak terdefinisi tepat di 0 tetapi memiliki limit 1 di sana, dan interval dibagi sehingga titik itu sendiri tidak pernah diambil sampelnya; hasilnya 1,892166141, yaitu 2·Si(1).

Bagaimana jika fungsi saya memiliki parameter, seperti a·x²?

Ganti parameter dengan angka terlebih dahulu. Integral tentu adalah satu bilangan tunggal, sehingga setiap huruf selain variabel integrasi harus memiliki nilai. Huruf mana pun dapat menjadi variabel, tetapi hanya satu.