Công Cụ Tính Tích Phân Xác Định
Nhập một hàm và hai cận, rồi nhận giá trị của tích phân xác định với độ chính xác khoảng mười chữ số, ước lượng sai số, diện tích có dấu và diện tích toàn phần, cùng một đồ thị tô màu phần diện tích. Cận có thể vô hạn (gõ inf), và khi tích phân có kỳ dị hoặc phân kỳ, công cụ sẽ nói rõ thay vì in một con số sai. Mọi tính toán chạy trong trình duyệt của bạn. Miễn phí, không cần đăng ký.
Dùng + − * / ^ và ngoặc. Hàm: sin, cos, tan, sec, csc, cot, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log (cơ số 10), sqrt, abs. Hằng số: pi và e.
Một số hoặc hằng số như 0, −2 hoặc pi/2. Gõ inf hoặc −inf cho cận vô hạn.
Kết quả
2
Giá trị tích phân
2,2E-14
Sai số tuyệt đối ước lượng
120
Số lần tính hàm
Phương pháp
Gauss–Kronrod thích nghi: một quy tắc Gauss 7 điểm và một quy tắc Kronrod 15 điểm trên 8 đoạn con; hiệu của chúng ước lượng sai số.
Đồ thị
- y = f(x)
- Diện tích phía trên trục
- Diện tích phía dưới trục
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Tích Phân Xác Định
- 1. Nhập hàm số. Dùng x làm biến:
sin(x),e^(-x^2),1/sqrt(x),x^2 ln(x). Có thể bỏ dấu nhân, nên2xvàx sin xđều hợp lệ. - 2. Nhập các cận. Dùng số hoặc hằng số như
0,-2hoặcpi/2. Với tích phân suy rộng, gõinfhoặc-infcho cận vô hạn. - 3. Đọc giá trị và sai số. Sai số tuyệt đối ước lượng cho biết nên tin bao nhiêu chữ số được in. Nếu f đổi dấu, tổng diện tích không dấu ∫|f| được hiển thị bên cạnh diện tích có dấu thuần.
- 4. Kiểm tra ghi chú và đồ thị. Mọi kỳ dị, cận vô hạn hay vấn đề hội tụ đều được báo bằng lời đơn giản, và đồ thị tô màu phần diện tích phía trên trục (xanh) và phía dưới trục (cam).
Cách Tính Tích Phân
Phương pháp mặc định là Gauss–Kronrod thích nghi, nền tảng của QUADPACK. Trên mỗi đoạn con, một quy tắc Gauss 7 điểm và một quy tắc Kronrod 15 điểm được tính tại các điểm lồng nhau; giá trị Kronrod là ước lượng, còn khoảng chênh lệch giữa hai quy tắc là ước lượng sai số. Đoạn con có sai số lớn nhất được chia đôi, và quá trình lặp lại cho đến khi sai số tổng nhỏ hơn 10⁻¹⁰ lần kết quả (hoặc 10⁻¹² tuyệt đối). Với hàm trơn, cách này thường cho 12 đến 14 chữ số đúng với vài trăm lần tính hàm hoặc ít hơn.
Cận vô hạn được ánh xạ lên [0, 1) bằng x = a + t/(1 − t). Khi f không hữu hạn tại một đầu mút, chẳng hạn ln x hoặc 1/√x tại 0, công cụ chuyển sang cầu phương tanh–sinh (hàm mũ kép), xử lý được các kỳ dị khả tích ở đầu mút; những kết quả này được báo chính xác đến khoảng tám chữ số. Xem Digital Library of Mathematical Functions của NIST, §3.5 để biết nền tảng của phép cầu phương.
Ví Dụ Minh Họa
| Tích phân | Kết quả | Ghi chú |
|---|---|---|
| ∫₀^π sin x dx | 2 | Sai số khoảng 2×10⁻¹⁴ |
| ∫₀¹ e^(−x²) dx | 0,7468241328 | Không có nguyên hàm sơ cấp; bằng (√π/2)·erf(1) |
| ∫₀¹ ln x dx | −1 | Suy rộng tại 0, hội tụ |
| ∫₁^∞ x⁻² dx | 1 | Cận vô hạn, hội tụ |
| ∫−∞∞ e^(−x²) dx | 1,772453851 | Bằng √π |
| ∫₀2π sin x dx | 0 | Diện tích có dấu; diện tích toàn phần là 4 |
| ∫₀¹ 1/x dx | phân kỳ | Không hiển thị giá trị hữu hạn |
Kỳ Dị, Phân Kỳ và Cảnh Báo
- Kỳ dị khả tích. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 và ∫₀¹ ln x dx = −1 là hữu hạn, dù hàm lấy tích phân tăng vô hạn tại 0. Công cụ ghi nhận đầu mút suy rộng và dùng quy tắc tanh–sinh.
- Phân kỳ. Với ∫₀¹ 1/x dx, diện tích tiếp tục tăng khi bạn dừng càng gần 0. Công cụ kiểm tra điều này bằng cách tích phân tới những điểm càng lúc càng gần điểm có vấn đề; nếu các gia số không giảm, nó báo phân kỳ thay vì đưa ra một giá trị. Cùng kiểm tra đó từ chối ∫₋₁¹ 1/x dx: hai nửa của nó triệt tiêu nhau (giá trị chính bằng 0), nhưng mỗi nửa đều phân kỳ khi xét riêng, nên tích phân không tồn tại.
- Không xác định trên một phần khoảng. ∫₋₁¹ √x dx không có giá trị, vì √x không phải số thực khi x âm. Công cụ chỉ ra điểm mà f không còn xác định.
- Gai hẹp. Quy tắc số nào cũng có thể bỏ sót một đặc điểm hẹp hơn khoảng cách mẫu của nó. Khoảng được chia trước thành tám đoạn để hỗ trợ, nhưng nếu bạn nghi ngờ có một gai nhọn, hãy tự chia tích phân tại đó.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Tích phân xác định biểu diễn điều gì?
- Đó là diện tích có dấu thuần giữa đường cong y = f(x) và trục hoành từ a đến b: phần diện tích phía trên trục được tính dương, phần phía dưới được tính âm. Theo Định lý Cơ bản của Giải tích, nó cũng bằng sự thay đổi tích lũy của bất kỳ đại lượng nào có tốc độ thay đổi là f(x).
- Vì sao tích phân bằng 0 nhưng diện tích thì không?
- Với sin x trên [0, 2π], phần phía trên trục và phần phía dưới triệt tiêu nhau, nên tích phân có dấu bằng 0, nhưng diện tích hình học là 4. Công cụ hiển thị cả hai khi hàm đổi dấu: tích phân của |f| cho ra tổng diện tích.
- Kết quả chính xác đến mức nào?
- Với hàm trơn, ước lượng sai số thường khoảng 10⁻¹³ hoặc nhỏ hơn, và giá trị được báo với mười chữ số có nghĩa. Với tích phân suy rộng và cận vô hạn, độ chính xác công bố khoảng tám chữ số. Sai số hiển thị là ước lượng của sai số số học, không phải một chặn được đảm bảo về mặt toán học.
- Tích phân suy rộng là gì?
- Tích phân có cận vô hạn, hoặc có hàm lấy tích phân không bị chặn tại một điểm của khoảng. Nó được định nghĩa như một giới hạn, và chỉ hội tụ nếu giới hạn đó hữu hạn: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 hội tụ, nhưng ∫₁^∞ 1/x dx thì không.
- Công cụ có đưa ra nguyên hàm không?
- Không. Nó tính tích phân bằng phương pháp số, và cũng hoạt động với các hàm không có nguyên hàm sơ cấp, như e^(−x²) hay sin(x)/x. Công Cụ Tính Đạo Hàm là công cụ dành cho việc tính toán ký hiệu có từng bước.
- Làm sao tích phân sin(x)/x qua điểm 0?
- Chỉ cần nhập hàm với các cận bao quanh 0, chẳng hạn từ −1 đến 1. Hàm không xác định đúng tại 0 nhưng có giới hạn bằng 1 tại đó, và khoảng được chia sao cho chính điểm đó không bao giờ được lấy mẫu; kết quả là 1,892166141, tức 2·Si(1).
- Nếu hàm có tham số, như a·x², thì sao?
- Thay tham số bằng một số trước. Tích phân xác định là một con số duy nhất, nên mọi chữ cái ngoài biến lấy tích phân phải có giá trị. Biến nào cũng có thể là biến lấy tích phân, nhưng chỉ được chọn một biến.