ماذا يمثل التكامل المحدد؟

هو المساحة الصافية الموقّعة بين المنحنى y = f(x) ومحور x من a إلى b: المساحة فوق المحور تُحسب موجبة، والمساحة تحته سالبة. وهو أيضًا يساوي التغيّر المتراكم لأي كمية معدل تغيّرها هو f(x)، وفق نظرية الأساس في التفاضل والتكامل.

لماذا يكون التكامل 0 بينما المساحة ليست 0؟

بالنسبة إلى sin x على [0, 2π] يلغي الجزء فوق المحور الجزء تحته، فيكون التكامل الصافي 0، بينما المساحة الهندسية 4. وتعرض الحاسبة الاثنين كلما تغيّرت إشارة الدالة: فتكامل |f| يعطي المساحة الكلية.

ما مدى دقة النتيجة؟

بالنسبة إلى الدوال الملساء يكون تقدير الخطأ عادةً نحو 10⁻¹³ أو أقل، وتُعرض القيمة بعشر منازل معنوية. أما التكاملات غير العادية والحدود اللانهائية فدقتها المذكورة نحو ثمانية أرقام. والخطأ المعروض تقدير للخطأ العددي، وليس حدًا مضمونًا رياضيًا.

ما هو التكامل غير العادي؟

تكامل له حد لانهائي، أو تكون الدالة غير محدودة عند نقطة في الفترة. ويُعرَّف بوصفه نهاية، ولا يتقارب إلا إذا كانت هذه النهاية منتهية: فـ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 يتقارب، أما ∫₁^∞ 1/x dx فلا يتقارب.

هل تعطي المشتقة العكسية؟

لا. فهي تحسب التكامل عدديًا، وهذا يعمل أيضًا مع الدوال التي لا تملك مشتقة عكسية أولية، مثل e^(−x²) أو sin(x)/x. أما العمل الرمزي مع الخطوات فأداته Derivative Calculator.

كيف أكامل sin(x)/x عبر 0؟

أدخلها بحدود تشمل 0، مثل −1 إلى 1. الدالة غير معرّفة عند 0 بالضبط، لكن نهايتها هناك 1، وتُقسَّم الفترة حتى لا تُعاين النقطة نفسها أبدًا؛ والنتيجة 1.892166141، وهي 2·Si(1).

ماذا لو احتوت دالتي على معامل، مثل a·x²؟

استبدل المعامل بعدد أولًا. فالتكامل المحدد عدد واحد، ويجب أن يكون لكل حرف عدا متغير التكامل قيمة. ويمكن أن يكون أي حرف هو المتغير، لكن واحدًا فقط.

حاسبة التكامل المحدد

أدخل دالة وحدّين لتحصل على قيمة التكامل المحدد بدقة نحو عشر منازل، مع تقدير للخطأ، والمساحة الصافية والكلية، ورسم بياني للمساحة المظللة. يمكن أن تكون الحدود لانهائية (اكتب inf)، وحين يكون للتكامل نقطة شاذة أو يتباعد تخبرك الحاسبة بذلك بدلًا من طباعة رقم خاطئ. تعمل بالكامل داخل متصفحك. مجانية، دون تسجيل.

الدالة f(x)

استخدم + − * / ^ والأقواس. الدوال: sin وcos وtan وsec وcsc وcot وasin وacos وatan وsinh وcosh وtanh وexp وln وlog (الأساس 10) وsqrt وabs. الثوابت: pi وe.

الحد الأدنى a

الحد الأعلى b

عدد أو ثابت مثل 0 أو −2 أو pi/2. اكتب inf أو −inf لحد لانهائي.

النتائج

$\int_{0}^{π} \sin (x) d x$

قيمة التكامل

2.2E‎-14

الخطأ المطلق المقدّر

120

عدد تقييمات الدالة

الطريقة

Gauss–Kronrod تكيفي: قاعدة Gauss من 7 نقاط وقاعدة Kronrod من 15 نقطة على 8 فترة جزئية؛ وفرقهما يقدّر الخطأ.

الرسم البياني

y = f(x)
المساحة فوق المحور
المساحة تحت المحور

كيفية استخدام حاسبة التكامل المحدد

1. اكتب الدالة. استخدم x متغيرًا: sin(x) وe^(-x^2) و1/sqrt(x) وx^2 ln(x). ويمكن حذف علامة الضرب، فـ2x وx sin x مقبولتان.
2. أدخل الحدود. استخدم أرقامًا أو ثوابت مثل 0 أو -2 أو pi/2. وفي التكامل غير العادي اكتب inf أو -inf لحد لانهائي.
3. اقرأ القيمة وخطأها. يخبرك الخطأ المطلق المقدّر بعدد الأرقام المطبوعة التي يمكن الوثوق بها. وإذا تغيّرت إشارة f تُعرض المساحة الكلية غير الموقّعة ∫|f| إلى جانب التكامل الصافي الموقّع.
4. راجع الملاحظات والرسم. يُبلَّغ بأي نقطة شاذة أو حد لانهائي أو مشكلة تقارب بكلمات واضحة، ويظلل الرسم المساحة فوق المحور (باللون الأزرق) وتحته (باللون البرتقالي).

كيف يُحسب التكامل

الطريقة الافتراضية هي Gauss–Kronrod التكيفية، وهي الخوارزمية التي تقوم عليها QUADPACK. على كل فترة جزئية تُقيَّم قاعدة Gauss من 7 نقاط وقاعدة Kronrod من 15 نقطة عند نقاط متداخلة؛ وقيمة Kronrod هي التقدير، والفرق بين القاعدتين هو تقدير الخطأ. تُقسم الفترة الجزئية ذات أكبر خطأ إلى نصفين، وتتكرر العملية حتى يصبح الخطأ الكلي أقل من 10⁻¹⁰ من النتيجة (أو 10⁻¹² مطلقًا). وفي الدوال الملساء يعطي هذا عادةً 12 إلى 14 رقمًا صحيحًا بعدد تقييمات يبلغ مئات أو أقل.

يُحوَّل الحد اللانهائي إلى [0, 1) بالتعويض x = a + t/(1 − t). وعندما لا تكون f منتهية عند طرف، كما في ln x أو 1/√x عند 0، تنتقل الحاسبة إلى تكامل tanh–sinh (double-exponential)، الذي يتعامل مع النقاط الشاذة القابلة للتكامل عند الأطراف، وتُذكر نتائجه بدقة نحو ثمانية أرقام. انظر المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة لـ NIST، §3.5 للخلفية الرياضية للتربيع العددي.

أمثلة محلولة

التكامل	النتيجة	ملاحظة
∫₀^π sin x dx	2	الخطأ نحو 2×10⁻¹⁴
∫₀¹ e^(−x²) dx	0.7468241328	لا توجد مشتقة عكسية أولية؛ يساوي (√π/2)·erf(1)
∫₀¹ ln x dx	−1	غير عادي عند 0، ويتقارب
∫₁^∞ x⁻² dx	1	حد لانهائي، ويتقارب
∫_−∞^∞ e^(−x²) dx	1.772453851	يساوي √π
∫₀^2π sin x dx	0	مساحة صافية؛ والمساحة الكلية 4
∫₀¹ 1/x dx	يتباعد	لا تُعرض قيمة منتهية

النقاط الشاذة والتباعد وتحذيراتها

نقطة شاذة قابلة للتكامل. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 و∫₀¹ ln x dx = −1 منتهيان رغم أن الدالة تنفجر عند 0. تنبّه الحاسبة إلى الطرف غير العادي وتستخدم قاعدة tanh–sinh.
التباعد. في ∫₀¹ 1/x dx تستمر المساحة في النمو كلما توقفت أقرب إلى 0. تختبر الحاسبة ذلك بالتكامل حتى نقاط أقرب فأقرب من موضع المشكلة؛ فإذا لم تتناقص الزيادات تُعلن التباعد بدلًا من إعطاء قيمة. ويرفض الاختبار نفسه ∫₋₁¹ 1/x dx: فنصفاه يلغي أحدهما الآخر (قيمة أساسية 0)، لكن كل نصف يتباعد وحده، فالتكامل غير موجود.
ليس حقيقيًا على جزء من الفترة. ∫₋₁¹ √x dx لا قيمة له، لأن √x ليست عددًا حقيقيًا عندما x سالبة. تذكر الحاسبة النقطة التي تتوقف عندها f عن أن تكون معرّفة.
القمم الضيقة. أي قاعدة عددية قد تفوّت ملامح أضيق بكثير من تباعد عيّناتها. تُقسَّم الفترة أولًا إلى ثماني لوحات للمساعدة، لكن إن شككت في قمة حادة فقسّم التكامل عندها بنفسك.

الأسئلة الشائعة

ماذا يمثل التكامل المحدد؟: هو المساحة الصافية الموقّعة بين المنحنى y = f(x) ومحور x من a إلى b: المساحة فوق المحور تُحسب موجبة، والمساحة تحته سالبة. وهو أيضًا يساوي التغيّر المتراكم لأي كمية معدل تغيّرها هو f(x)، وفق نظرية الأساس في التفاضل والتكامل.
لماذا يكون التكامل 0 بينما المساحة ليست 0؟: بالنسبة إلى sin x على [0, 2π] يلغي الجزء فوق المحور الجزء تحته، فيكون التكامل الصافي 0، بينما المساحة الهندسية 4. وتعرض الحاسبة الاثنين كلما تغيّرت إشارة الدالة: فتكامل |f| يعطي المساحة الكلية.
ما مدى دقة النتيجة؟: بالنسبة إلى الدوال الملساء يكون تقدير الخطأ عادةً نحو 10⁻¹³ أو أقل، وتُعرض القيمة بعشر منازل معنوية. أما التكاملات غير العادية والحدود اللانهائية فدقتها المذكورة نحو ثمانية أرقام. والخطأ المعروض تقدير للخطأ العددي، وليس حدًا مضمونًا رياضيًا.
ما هو التكامل غير العادي؟: تكامل له حد لانهائي، أو تكون الدالة غير محدودة عند نقطة في الفترة. ويُعرَّف بوصفه نهاية، ولا يتقارب إلا إذا كانت هذه النهاية منتهية: فـ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 يتقارب، أما ∫₁^∞ 1/x dx فلا يتقارب.
هل تعطي المشتقة العكسية؟: لا. فهي تحسب التكامل عدديًا، وهذا يعمل أيضًا مع الدوال التي لا تملك مشتقة عكسية أولية، مثل e^(−x²) أو sin(x)/x. أما العمل الرمزي مع الخطوات فأداته Derivative Calculator.
كيف أكامل sin(x)/x عبر 0؟: أدخلها بحدود تشمل 0، مثل −1 إلى 1. الدالة غير معرّفة عند 0 بالضبط، لكن نهايتها هناك 1، وتُقسَّم الفترة حتى لا تُعاين النقطة نفسها أبدًا؛ والنتيجة 1.892166141، وهي 2·Si(1).
ماذا لو احتوت دالتي على معامل، مثل a·x²؟: استبدل المعامل بعدد أولًا. فالتكامل المحدد عدد واحد، ويجب أن يكون لكل حرف عدا متغير التكامل قيمة. ويمكن أن يكون أي حرف هو المتغير، لكن واحدًا فقط.