Kalkulator Laju Perubahan Rata-Rata
Masukkan fungsi atau tabel data dan dua nilai x, lalu dapatkan laju perubahan rata-rata di antara keduanya — kemiringan garis sekan — dengan Δy dan Δx, persamaan garis sekan, kalimat sederhana dengan satuan Anda (meter per detik, dolar per tahun), tabel yang memperlihatkan bagaimana laju mendekati laju sesaat ketika interval mengecil, dan titik Teorema Nilai Rata-Rata. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Gunakan + − * / ^ dan tanda kurung. Fungsi: sin, cos, tan, exp, ln, log (basis 10), sqrt, abs, dan lainnya. Konstanta: pi dan e.
Bilangan atau konstanta seperti 1, −2,5 atau pi/2.
Hasil
4
Laju perubahan rata-rata
8
Perubahan y, Δy
2
Perubahan x, Δx
1
y di awal
9
y di akhir
Artinya
Dari x = 1 sampai x = 3, y naik sebesar 8 sementara x berubah sebesar 2: rata-rata 4 per satuan x.
Garis sekan
Laju perubahan rata-rata adalah kemiringan garis sekan yang melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)).
Memperkecil interval
| h | Interval | Laju rata-rata |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
Laju rata-rata pada [a, a + h] mendekati laju sesaat f′(1) = 2 ketika h → 0.
Teorema Nilai Rata-Rata
Ada titik c di antara a dan b yang laju sesaat f′(c)-nya sama dengan laju rata-rata ini: c ≈ 2.
Grafik
- y = f(x)
- Garis sekan (kemiringan 4)
- Garis singgung sejajar dengan garis sekan di c
Cara Menggunakan Kalkulator Laju Perubahan Rata-Rata
- 1. Pilih fungsi atau tabel. Untuk fungsi, ketik f(x), seperti
x^2atausin(x). Untuk data, tempel satu pasangan “x, y” per baris; nilai x boleh dalam urutan apa pun. - 2. Masukkan interval. Tentukan awal a dan akhir b. Untuk tabel, keduanya harus nilai x yang muncul dalam data Anda.
- 3. Tambahkan satuan bila perlu. Ketik satuan y (meter) dan x (detik) untuk mendapatkan jawaban sebagai kalimat dengan “meter per detik”.
- 4. Baca hasilnya. Anda mendapatkan laju, Δy dan Δx, garis sekan, dan grafik. Untuk fungsi, Anda juga melihat tabel limit dan titik Teorema Nilai Rata-Rata.
Rumus
Laju perubahan rata-rata f pada [a, b] adalah (f(b) − f(a)) / (b − a) — perubahan keluaran dibagi perubahan masukan, atau kenaikan dibagi pergeseran mendatar. Secara geometris, ini adalah kemiringan garis sekan yang melalui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Nilainya negatif ketika f secara keseluruhan turun, nol ketika f berakhir di tempat ia mulai, dan dapat dihitung untuk interval mana pun, bahkan interval yang di dalamnya f naik dan turun.
Contoh Kasus
Sebuah fungsi. Untuk f(x) = x² pada [1, 3]: f(1) = 1 dan f(3) = 9, sehingga lajunya (9 − 1)/(3 − 1) = 4, dan garis sekannya adalah y = 4x − 3. Laju sesaat pada x = 1 adalah f′(1) = 2, dan laju rata-rata pada [1, 1 + h] adalah 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1), dan 2,01 (h = 0,01): semuanya mendekati 2 ketika h mengecil. Teorema Nilai Rata-Rata menjamin adanya titik c di (1, 3) dengan f′(c) = 4; di sini f′(x) = 2x, sehingga c = 2.
Sebuah tabel. Sebuah bola yang dijatuhkan dari diam telah jatuh sejauh 0, 4,9, 19,6, 44,1, dan 78,4 meter setelah 0, 1, 2, 3, dan 4 detik. Antara t = 1 dan t = 3 jarak naik dari 4,9 menjadi 44,1, sehingga kecepatan rata-ratanya adalah (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 meter per detik. Laju di antara detik-detik yang berurutan adalah 4,9, 14,7, 24,5, dan 34,3 m/s, yang terus meningkat karena bola mengalami percepatan.
Rata-Rata Versus Laju Sesaat
Laju rata-rata menggambarkan seluruh interval; laju sesaat adalah turunan, yaitu limit laju rata-rata ketika interval mengecil ke sebuah titik. Di mana laju rata-rata menuju satu nilai, nilai itu adalah f′(a). Jika Anda hanya memiliki tabel data, Anda tidak dapat mengambil limit itu, tetapi semakin kecil jarak antarpengukuran, semakin baik laju rata-rata memperkirakan laju sesaat. Jangan tertukar antara laju perubahan rata-rata dengan nilai rata-rata fungsi, (1/(b − a))∫ f(x)dx, yaitu tinggi rata-rata grafik, bukan kemiringan rata-ratanya.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara mencari laju perubahan rata-rata?
- Kurangkan nilai fungsi di kedua ujung lalu bagi dengan selisih masukannya: (f(b) − f(a))/(b − a). Untuk tabel, baca nilai y pada kedua nilai x dan lakukan hal yang sama.
- Apa arti laju perubahan rata-rata yang negatif?
- Bahwa keluaran secara keseluruhan menurun di sepanjang interval: garis sekan miring ke bawah. Itu tidak mengatakan apa pun tentang apa yang terjadi di antaranya, karena fungsi mungkin naik lebih dahulu lalu turun lebih jauh.
- Apa bedanya dengan kemiringan garis?
- Untuk garis lurus, laju perubahan rata-rata sama di setiap interval dan sama dengan kemiringannya. Untuk kurva, nilainya bergantung pada interval yang dipilih, itulah sebabnya gagasan laju sesaat (turunan) diperlukan.
- Bagaimana cara menyertakan satuan?
- Satuan laju adalah satuan y dibagi satuan x. Jika y adalah jarak dalam meter dan x adalah waktu dalam detik, lajunya dalam meter per detik. Ketik kedua satuan itu ke dalam kalkulator untuk mendapatkan kalimatnya ditulis untuk Anda.
- Apa arti Teorema Nilai Rata-Rata dalam konteks ini?
- Jika f kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan di antaranya, maka pada suatu titik c di (a, b) laju sesaat f′(c) sama dengan laju rata-rata di [a, b]: garis singgung di c sejajar dengan garis sekan. Kalkulator mencari titik seperti itu secara numerik dan menggambar satu garis singgung.
- Bisakah saya memakainya untuk data yang jaraknya tidak merata?
- Bisa. Laju antara dua nilai x yang Anda pilih tepat untuk data Anda, dan tabel laju berurutan menangani celah yang tidak sama karena setiap baris membagi dengan Δx-nya sendiri.