Calculadora de autovalores
Digite uma matriz quadrada de até 6 × 6 e obtenha seus autovalores e autovetores, o polinômio característico, as verificações do traço e do determinante e a diagonalização A = PDP⁻¹, quando ela existe. Os autovalores saem exatos (como frações, radicais ou números complexos) sempre que o polinômio permite, e numericamente caso contrário. Gratuito, sem cadastro, e tudo roda no seu navegador.
Inteiros, decimais ou frações como 3/4.
Resultados
Autovalores (repetidos conforme a multiplicidade algébrica)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
Traço
10
Determinante
Exato
Método
Não
Simétrica?
Sim
Diagonalizável?
Verificação: os autovalores somam o traço, 7, e multiplicados dão o determinante, 10.
Polinômio característico
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Teorema das raízes racionais: uma raiz racional é um divisor do termo constante sobre um divisor do coeficiente líder. Raízes encontradas: 2, 5.
Autovalores e autovetores
Cada autovetor resolve (A − λI)v = 0. Qualquer múltiplo não nulo dele também é um autovetor.
λ = 2
multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Diagonalização
Os autovetores formam as colunas de P, e A = P D P⁻¹, com D a matriz diagonal dos autovalores.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Como usar a Calculadora de autovalores
- 1. Escolha o tamanho. Escolha n de 2 a 6 e preencha a matriz n × n. Frações como 3/4 e decimais são lidos exatamente.
- 2. Leia os autovalores. Eles aparecem com repetições conforme a multiplicidade algébrica, ao lado do traço e do determinante como verificação rápida: os autovalores somam o traço e, multiplicados, dão o determinante.
- 3. Acompanhe o polinômio característico. A calculadora escreve p(λ) = det(λI − A), fatora as suas raízes racionais e resolve o que sobra com a fórmula de Bhaskara.
- 4. Examine os autovetores. Para cada autovalor, você vê A − λI e uma base do seu autoespaço, além de P e D quando A é diagonalizável sobre os racionais.
O que são autovalores e autovetores
Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não nulo v que A apenas estica, sem girar: Av = λv. O escalar λ é o autovalor. Reescrevendo, (A − λI)v = 0 tem solução não nula só quando A − λI é singular, o que acontece exatamente quando det(A − λI) = 0. Essa equação é a equação característica, e o polinômio é o polinômio característico. Esta calculadora usa a forma mônica det(λI − A), que difere de det(A − λI) apenas pelo fator (−1)ⁿ e tem as mesmas raízes.
| Termo | Significado |
|---|---|
| Multiplicidade algébrica | Quantas vezes λ é raiz do polinômio característico |
| Multiplicidade geométrica | A dimensão do autoespaço: quantos autovetores independentes λ tem |
| Diagonalizável | A tem n autovetores independentes, então A = PDP⁻¹; isso exige que a multiplicidade geométrica seja igual à algébrica para cada autovalor |
| Defectiva | Algum autovalor tem multiplicidade geométrica menor que a algébrica |
A multiplicidade geométrica nunca é maior que a algébrica. Matrizes reais simétricas são sempre diagonalizáveis, com autovalores reais.
Respostas exatas e respostas numéricas
O polinômio característico é calculado exatamente, então não há arredondamento nele. As raízes racionais são encontradas pelo teorema das raízes racionais e divididas. Se sobra um quadrático, a fórmula de Bhaskara dá os dois autovalores restantes em forma fechada, inclusive complexos, e os autovetores são resolvidos exatamente no mesmo sistema numérico. Isso cobre toda matriz 2 × 2, toda matriz 3 × 3 cujo polinômio característico tem uma raiz racional e as matrizes maiores que se decompõem em raízes racionais mais um quadrático.
Quando o polinômio não fatora dessa forma (um cúbico irredutível, ou um quártico com raízes irracionais), a calculadora passa para o algoritmo QR em precisão dupla. Ele reduz a matriz à forma de Hessenberg, aplica passos QR com deslocamento até a subdiagonal se anular e encontra os autovetores por iteração inversa. Espere cerca de dez dígitos corretos para uma matriz bem condicionada. Um autovalor cuja parte imaginária é menor que 10⁻⁹ do seu tamanho é mostrado como real, e a página informa qual método foi usado.
Exemplos práticos
A = [4 1; 2 3]. O traço é 7 e o determinante é 10, então p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Para λ = 2 o autovetor é (1, −2), e para λ = 5 é (1, 1). Então P tem colunas (1, −2) e (1, 1), D = diag(2, 5), e A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (a matriz de Fibonacci). Aqui p(λ) = λ² − λ − 1 tem discriminante 5 e nenhuma raiz racional, então os autovalores são (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 (a razão áurea) e (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, com autovetor ((1 + √5)/2, 1) para o primeiro.
A = [0 −1; 1 0], uma rotação de 90°, tem p(λ) = λ² + 1, então seus autovalores são i e −i: nenhum vetor real mantém sua direção. A matriz de permutação cíclica com linhas (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) tem p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), então seus autovalores são 1 e as raízes cúbicas complexas da unidade, (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] tem λ = 2 com multiplicidade algébrica 2, mas apenas uma direção de autovetor, então é defectiva e não pode ser diagonalizada.
A matriz tridiagonal 4 × 4 com 2 na diagonal e −1 nas posições vizinhas tem espectro irracional, então roda numericamente: seus autovalores são 0,381966, 1,381966, 2,618034 e 3,618034, que coincidem com 2 − 2cos(kπ/5) para k = 1 a 4.
Perguntas frequentes
- Como se encontram os autovalores de uma matriz 2×2?
- Calcule o traço e o determinante, escreva λ² − (traço)λ + (determinante) = 0 e resolva. Para [4 1; 2 3], isso é λ² − 7λ + 10 = 0, então λ = 2 e λ = 5. Se o discriminante for negativo, os autovalores são complexos conjugados.
- Como se encontram os autovetores depois de achar os autovalores?
- Para cada autovalor λ, resolva (A − λI)v = 0, normalmente por escalonamento. As soluções formam o autoespaço; qualquer vetor não nulo nele é um autovetor, então autovetores são definidos apenas a menos de um múltiplo escalar.
- Uma matriz real pode ter autovalores complexos?
- Sim. Autovalores complexos de uma matriz real vêm em pares conjugados. Uma rotação do plano por um ângulo diferente de 0° ou 180° não tem autovetor real, então seus autovalores são complexos.
- O que significa um autovalor igual a 0?
- A matriz é singular: det A = 0, porque o determinante é o produto dos autovalores, e os autovetores para 0 são as soluções não nulas de Ax = 0. A multiplicidade de 0 indica quanto do espaço a matriz colapsa.
- Quando uma matriz é diagonalizável?
- Quando tem n autovetores linearmente independentes. Autovalores distintos garantem isso, e também uma matriz real simétrica. Um autovalor repetido pode impedir isso se o seu autoespaço for pequeno demais, como em [2 1; 0 2].
- Por que alguns autovalores aparecem como decimais?
- Para matrizes 5 × 5 e 6 × 6, e para cúbicos sem raiz racional, não há fórmula de raízes que esta ferramenta aplique, então ela usa o algoritmo QR. Esses valores são precisos a cerca de dez dígitos; o polinômio característico mostrado ao lado continua exato.