Calculadora de transformações geométricas

Resultados

Imagens dos pontos

Matriz de transformação

Cada passo é uma matriz 3 × 3 atuando sobre (x, y, 1). As matrizes se multiplicam da direita para a esquerda, então o primeiro passo é o fator mais à direita.

Antes e depois

Azul é o original, laranja a imagem final, os contornos pontilhados mostram a figura após cada passo anterior, e o verde marca uma reta de reflexão ou um centro.

Como usar a calculadora de transformações geométricas

1. 1. Insira os pontos. Digite um par x, y por linha, até doze. Três ou mais pontos são desenhados como um polígono, na ordem em que você os listar.
2. 2. Escolha uma transformação. Cada passo é uma translação, reflexão, rotação ou dilatação, com suas próprias configurações: o deslocamento, a reta de espelho, o ângulo e o centro, ou o fator de escala e o centro.
3. 3. Encadeie passos se precisar. Adicione até quatro passos; eles são aplicados na ordem mostrada. As linhas pontilhadas no gráfico mostram a figura após cada passo anterior.
4. 4. Leia as imagens, as matrizes e o gráfico. A tabela lista cada ponto e sua imagem; as matrizes mostram a transformação em números; e o gráfico sobrepõe a figura original ao resultado.

As quatro transformações rígidas e de semelhança

Matrizes de transformação

Translações não são lineares, por isso uma matriz 2 × 2 não pode descrevê-las. O truque são as coordenadas homogêneas: escreva o ponto como (x, y, 1) e use matrizes 3 × 3. Uma translação por (a, b) torna-se a matriz com linhas (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); uma rotação de θ torna-se (cos θ, −sen θ, 0), (sen θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); uma dilatação por k é (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Como cada passo é uma matriz, uma sequência inteira é uma única matriz: o produto das matrizes dos passos, com o primeiro passo como fator mais à direita. Uma rotação em torno de um centro (c, d) é T(c, d) · R · T(−c, −d).

O determinante da parte 2 × 2 da matriz indica como as áreas mudam e se a figura está espelhada. Um determinante 1 mantém área e orientação (translações e rotações); −1 mantém a área, mas inverte a orientação (uma única reflexão); e k² multiplica as áreas pelo quadrado do fator de escala. A calculadora informa esse determinante, junto com o fator pelo qual as distâncias são multiplicadas.

Exemplos práticos

Comece com o triângulo A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), cuja área é 3.

• Girar 90° no sentido anti-horário em torno da origem. (x, y) torna-se (−y, x), logo A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). A matriz é (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), com determinante 1.
• Refletir no eixo y. (x, y) torna-se (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). O determinante é −1, portanto a orientação é invertida.
• Transladar por (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Dilatar por k = 2 em torno da origem. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Os comprimentos dobram, e a área passa de 3 para 12 = 3 × 2².
• Girar 45° em torno da origem. O ponto (1, 0) vai para (√2/2, √2/2), mantido exato.
• A ordem importa. Tome o ponto (1, 0). Gire 90° e depois translade por (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Translade primeiro e depois gire: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Refletir em outras retas

Para a reta y = mx + b, a calculadora usa a matriz de reflexão em torno de y = mx, que é (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) dividida por 1 + m², combinada com translações de b. Todas as entradas são racionais, então o resultado é exato. Uma reta vertical x = c envia x para 2c − x. Por exemplo, refletir a origem em y = x + 2 dá (−2, 2), porque a reta é a mediatriz do segmento que une os dois pontos.

Perguntas frequentes

O que é uma transformação geométrica?

Uma regra que move cada ponto do plano para uma nova posição. Translações deslizam, reflexões espelham em torno de uma reta, rotações giram em torno de um centro e dilatações redimensionam em torno de um centro. As três primeiras são movimentos rígidos que mantêm as distâncias inalteradas; uma dilatação mantém a forma, mas muda o tamanho.

Como girar um ponto 90 graus em torno da origem?

No sentido anti-horário, (x, y) torna-se (−y, x); no sentido horário, torna-se (y, −x). Para (3, 2), isso dá (−2, 3) no sentido anti-horário e (2, −3) no sentido horário. Uma rotação de 180° envia (x, y) para (−x, −y).

Como girar em torno de um ponto diferente da origem?

Subtraia o centro do ponto, gire o resultado em torno da origem e depois some o centro de volta. A calculadora faz isso para você por meio da matriz T(c) · R · T(−c), e também para dilatações em torno de um centro escolhido.

O que acontece com a área em uma dilatação?

Os comprimentos são multiplicados por |k| e as áreas por k². Um fator de escala 3 torna a figura três vezes mais larga e nove vezes maior em área. Um k negativo também inverte a figura através do centro, o que equivale a uma dilatação por |k| seguida de uma rotação de 180°.

A ordem das transformações importa?

Geralmente sim. A multiplicação de matrizes não é comutativa, então uma rotação seguida de uma translação é diferente da translação seguida da rotação, como no exemplo acima. Duas rotações em torno do mesmo centro, ou duas translações, comutam.

Como refletir em torno da reta y = x?

Troque as coordenadas: (x, y) torna-se (y, x). Refletir em y = −x envia (x, y) para (−y, −x). Para qualquer outra reta y = mx + b, escolha essa opção no passo de reflexão e informe m e b.