Calculadora de transformaciones geométricas

Resultados

Imágenes de los puntos

Matriz de transformación

Cada paso es una matriz de 3 × 3 que actúa sobre (x, y, 1). Las matrices se multiplican de derecha a izquierda, así que el primer paso es el factor de más a la derecha.

Antes y después

El azul es el original, el naranja la imagen final, los contornos punteados la figura tras cada paso anterior, y el verde marca una recta de reflexión o un centro.

Cómo usar la calculadora de transformaciones geométricas

1. 1. Introduce los puntos. Escribe un par x, y por línea, hasta doce. Tres o más puntos se dibujan como un polígono en el orden en que los listas.
2. 2. Elige una transformación. Cada paso es una traslación, una reflexión, una rotación o una dilatación, con sus propios ajustes: el desplazamiento, la recta espejo, el ángulo y el centro, o el factor de escala y el centro.
3. 3. Encadena pasos si lo necesitas. Añade hasta cuatro pasos; se aplican en el orden mostrado. Los contornos punteados del gráfico muestran la figura después de cada paso anterior.
4. 4. Lee las imágenes, las matrices y el gráfico. La tabla enumera cada punto y su imagen; las matrices muestran la transformación en números; y el gráfico superpone el original sobre el resultado.

Las cuatro transformaciones rígidas y de semejanza

Matrices de transformación

Las traslaciones no son lineales, así que una matriz de 2 × 2 no puede describirlas. El truco son las coordenadas homogéneas: escribe el punto como (x, y, 1) y usa matrices de 3 × 3. Una traslación por (a, b) se convierte en la matriz con filas (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); una rotación de θ se convierte en (cos θ, −sen θ, 0), (sen θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); y una dilatación de factor k es (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Como cada paso es una matriz, toda una secuencia es una única matriz: el producto de las matrices de los pasos, con el primer paso como factor más a la derecha. Una rotación alrededor de un centro (c, d) es T(c, d) · R · T(−c, −d).

El determinante de la esquina 2 × 2 de la matriz indica cómo cambian las áreas y si la figura está reflejada. Un determinante de 1 conserva el área y la orientación (traslaciones y rotaciones); −1 conserva el área pero invierte la orientación (una sola reflexión); y k² escala las áreas por el cuadrado del factor de escala. La calculadora informa ese determinante junto con el factor por el que se multiplican las distancias.

Ejemplos desarrollados

Empieza con el triángulo A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), cuya área es 3.

• Girar 90° en sentido antihorario alrededor del origen. (x, y) pasa a (−y, x): A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). La matriz es (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), con determinante 1.
• Reflejar sobre el eje y. (x, y) pasa a (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). El determinante es −1, así que la orientación se invierte.
• Trasladar por (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Dilatar con k = 2 desde el origen. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Las longitudes se duplican, y el área pasa de 3 a 12 = 3 × 2².
• Girar 45° alrededor del origen. El punto (1, 0) pasa a (√2/2, √2/2), que se mantiene exacto.
• El orden importa. Toma el punto (1, 0). Gira 90° y después traslada por (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Traslada primero y después gira: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Reflejar en otras rectas

Para la recta y = mx + b, la calculadora usa la matriz de reflexión respecto de y = mx, que es (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) dividida entre 1 + m², envuelta en traslaciones por b. Todos los elementos son racionales, así que el resultado es exacto. Una recta vertical x = c envía x a 2c − x. Por ejemplo, reflejar el origen en y = x + 2 da (−2, 2), porque la recta es la mediatriz del segmento que une ambos puntos.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una transformación geométrica?

Una regla que mueve cada punto del plano a una nueva posición. Las traslaciones desplazan, las reflexiones voltean sobre una recta, las rotaciones giran alrededor de un centro y las dilataciones cambian el tamaño respecto de un centro. Las tres primeras son movimientos rígidos que mantienen las distancias; una dilatación conserva la forma pero cambia el tamaño.

¿Cómo se gira un punto 90 grados alrededor del origen?

En sentido antihorario, (x, y) pasa a (−y, x); en sentido horario, pasa a (y, −x). Para (3, 2) eso da (−2, 3) en sentido antihorario y (2, −3) en sentido horario. Un giro de 180° envía (x, y) a (−x, −y).

¿Cómo se gira alrededor de un punto distinto del origen?

Resta el centro al punto, gira el resultado alrededor del origen y vuelve a sumar el centro. La calculadora lo hace por ti mediante la matriz T(c) · R · T(−c), y también para las dilataciones respecto de un centro elegido.

¿Qué le pasa al área en una dilatación?

Las longitudes se multiplican por |k| y las áreas por k². Un factor de escala de 3 hace la figura tres veces más ancha y nueve veces mayor en área. Un k negativo además invierte la figura a través del centro, lo mismo que una dilatación por |k| seguida de un giro de 180°.

¿Importa el orden de las transformaciones?

Normalmente sí. La multiplicación de matrices no es conmutativa, así que una rotación seguida de una traslación es distinta de la traslación seguida de la rotación, como en el ejemplo anterior. Dos rotaciones alrededor del mismo centro, o dos traslaciones, sí conmutan.

¿Cómo reflejo sobre la recta y = x?

Intercambia las coordenadas: (x, y) pasa a (y, x). Reflejar sobre y = −x envía (x, y) a (−y, −x). Para cualquier otra recta y = mx + b, elige esa opción en el paso de reflexión e introduce m y b.