Calculadora de derivadas

Resultados

Se interpreta como: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Cómo usar la calculadora de derivadas

1. 1. Escribe la función. Escríbela como lo harías en papel: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). La multiplicación puede omitirse entre un número o una letra y lo que sigue, así que 2x y x sin x funcionan.
2. 2. Elige la variable y el orden. La derivada se toma respecto de x salvo que elijas otra letra; todas las demás letras se tratan como constantes. El orden 2 da la segunda derivada, y así hasta el 5.
3. 3. Añade un punto si quieres un número. Introduce 2, -1.5 o pi/4 para obtener la función y su derivada evaluadas en ese punto, exactamente donde lo permite el álgebra (1/2, 2sin(1) + cos(1)) y como decimal.
4. 4. Lee el procedimiento. Primero aparece la respuesta, después cada derivada hasta el orden que elegiste y luego una línea por subexpresión que indica la regla usada y la derivada que produjo.

Las reglas que aplica la calculadora

Ejemplos desarrollados

Regla del producto y de la cadena juntas. Para f(x) = x² sin(x), la regla del producto con u = x² y v = sin x da u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. En x = 1 eso es 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Para f(x) = sin(x²), la función exterior es el seno y el interior es u = x², así que f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Regla del cociente y después órdenes superiores. Para f(x) = (x² + 1)/(x − 1), u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, así que f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². En x = 3 eso es 2/4 = 1/2. Al derivar de nuevo, el numerador de la segunda derivada tiene un factor (x − 1) que se cancela, y queda f″(x) = 4/(x − 1)³. La calculadora cancela estos factores para que las derivadas superiores salgan en su forma corta.

Cómo se interpreta tu entrada

• Multiplicación. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) y x sin x se multiplican. Un número suelto no puede seguir a una letra o a un paréntesis (x2 se rechaza, no se adivina): escribe x*2 o 2x.
• División. La multiplicación implícita tiene la misma prioridad que * y /, de izquierda a derecha, así que 1/2x significa (1/2)·x. Escribe 1/(2x) para la otra lectura. La línea «Se interpreta como» muestra exactamente lo que se entendió.
• Potencias. -x^2 es −(x²), 2^-x es 2 elevado a −x, y a^b^c es a^(b^c). sin^2(x) significa (sin x)². sin^-1(x) se rechaza por ambiguo: escribe asin(x) o 1/sin(x).
• Funciones sin paréntesis. sin x, ln x^2 (es decir, ln de x²) y sin 2x toman un solo argumento sencillo; sin x (x+1) es sin(x) por (x+1).
• Nombres. Las variables son letras sueltas, e es el número de Euler, pi o π es π, exp(x) es eˣ, ln es el logaritmo natural y log es el logaritmo en base 10. log(x, 2) es el logaritmo en base 2. Los ángulos están en radianes.

Qué tener en cuenta

Los resultados se simplifican a una forma convencional —términos semejantes agrupados, polinomios desarrollados, factores comunes extraídos y factores iguales cancelados entre numerador y denominador—, pero una respuesta de aspecto distinto puede seguir siendo correcta. Compruébala evaluando ambas en un punto. Cancelar un factor como (x − 1) puede ampliar en silencio el dominio en x = 1, como en cualquier sistema de álgebra, así que una derivada solo se afirma donde la función original está definida.

La derivada de |u| es u·u′/|u|, que no existe donde u = 0; la gráfica muestra la esquina. La herramienta deriva funciones explícitas de una variable elegida y trata las demás letras como constantes (así se toma una derivada parcial). No hace derivación implícita.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se halla una derivada paso a paso?

Identifica la estructura más externa de la expresión y aplica la regla que corresponda: separa las sumas término a término, saca los factores constantes, usa la regla del producto o del cociente cuando dos partes contienen la variable, y la regla de la cadena cuando una función tiene algo distinto de x dentro. Luego repite con cada pieza. El procedimiento de arriba sigue exactamente ese orden, de fuera hacia dentro.

¿Cuándo uso la regla de la cadena y cuándo la del producto?

Usa la regla del producto cuando dos factores multiplicados dependen de x, como en x² sin x. Usa la regla de la cadena cuando una función está dentro de otra, como en sin(x²) o e^(3x). Muchos problemas necesitan ambas, como x² sin(3x).

¿Para qué sirve la segunda derivada?

Es la derivada de la derivada, así que mide qué tan rápido cambia la pendiente misma. Una segunda derivada positiva significa que la gráfica es cóncava hacia arriba (curvada como una taza); una negativa, cóncava hacia abajo. En un punto donde f′ = 0, el signo de f″ distingue un máximo de un mínimo.

¿Puedo calcular una derivada parcial?

Sí, en el sentido que importa para calcularla. Escribe la función con varias letras, como x^2 y + sin(y x), y elige la variable respecto de la que derivar; las demás letras se mantienen constantes. La gráfica se oculta para funciones de más de una variable.

¿Por qué la derivada de |x| no está definida en 0?

La gráfica de |x| tiene una esquina aguda en el origen: la pendiente es −1 justo a la izquierda y +1 justo a la derecha, así que no hay una única recta tangente. Lejos de 0, la derivada es x/|x|, que vale −1 para x negativa y +1 para x positiva.

¿Es log el logaritmo natural o el de base 10?

Aquí log es de base 10, como en una calculadora científica, y ln es el logaritmo natural. Los textos difieren en esto, así que revisa tu libro. Para cualquier otra base escribe log(x, b). La derivada de log(x) es 1/(x ln 10), y la de ln(x) es 1/x.

¿Por qué mi respuesta se ve distinta de la del libro?

Expresiones equivalentes pueden escribirse de muchas maneras: (x + 1)eˣ y xeˣ + eˣ son la misma función. Si la forma difiere, evalúa ambas en uno o dos puntos —los valores en el punto que elegiste te permiten hacerlo— en lugar de asumir que una está mal.