Калькулятор производной

Результаты

Прочитано как: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Как пользоваться калькулятором производной

1. 1. Введите функцию. Пишите её так же, как на бумаге: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). Знак умножения можно опустить между числом или буквой и следующим за ними выражением, поэтому 2x и x sin x работают.
2. 2. Выберите переменную и порядок. Производная берётся по x, если вы не выбрали другую букву; все остальные буквы считаются константами. Порядок 2 даёт вторую производную и так далее до 5.
3. 3. При необходимости добавьте точку. Введите 2, -1.5 или pi/4, и функция с её производной будут вычислены в этой точке — точно, где позволяет алгебра (1/2, 2sin(1) + cos(1)), и в виде десятичной дроби.
4. 4. Прочитайте решение. Сначала показан ответ, затем все производные до выбранного порядка, затем строка для каждого подвыражения с названием правила и полученной производной.

Правила, которые применяет калькулятор

Примеры

Произведение и цепное правило вместе. Для f(x) = x² sin(x) правило произведения с u = x² и v = sin x даёт u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. При x = 1 это 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Для f(x) = sin(x²) внешняя функция — синус, а внутри u = x², поэтому f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Правило частного, затем высшие порядки. Для f(x) = (x² + 1)/(x − 1) выражение u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, поэтому f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². При x = 3 это 2/4 = 1/2. Дифференцируя снова, в числителе второй производной появляется множитель (x − 1), который сокращается, и остаётся f″(x) = 4/(x − 1)³ — калькулятор сокращает такие множители, чтобы высшие производные выглядели в короткой записи.

Как читается ваш ввод

• Умножение. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) и x sin x умножаются. Число не может стоять после буквы или скобки без знака (x2 отклоняется, а не угадывается): пишите x*2 или 2x.
• Деление. Неявное умножение имеет тот же приоритет, что * и /, и выполняется слева направо, поэтому 1/2x означает (1/2)·x. Для другого прочтения напишите 1/(2x). Строка «Прочитано как» показывает, что именно понято.
• Степени. -x^2 — это −(x²), 2^-x — это 2 в степени −x, а a^b^c — это a^(b^c). sin^2(x) означает (sin x)². sin^-1(x) отклоняется как неоднозначное — введите asin(x) или 1/sin(x).
• Функции без скобок. sin x, ln x^2 (то есть ln от x²) и sin 2x принимают один простой аргумент; sin x (x+1) — это sin(x), умноженный на (x+1).
• Имена. Переменные — отдельные буквы, e — число Эйлера, pi или π — число π, exp(x) — это eˣ, ln — натуральный логарифм, а log — логарифм по основанию 10. log(x, 2) — логарифм по основанию 2. Углы в радианах.

О чём помнить

Результаты приводятся к общепринятому виду — подобные члены приведены, многочлены раскрыты, общие множители вынесены, а общие множители сокращены между числителем и знаменателем, но выражение, которое выглядит иначе, всё равно может быть верным. Проверьте, вычислив оба выражения в точке. Сокращение множителя, например (x − 1), может незаметно расширить область определения в точке x = 1, как и в любой системе алгебры, поэтому производная считается только там, где исходная функция определена.

Производная |u| равна u·u′/|u| и не существует там, где u = 0; график показывает излом. Инструмент дифференцирует явные функции одной выбранной переменной, считая остальные буквы константами (так берётся частная производная); неявное дифференцирование он не выполняет.

Часто задаваемые вопросы

Как найти производную пошагово?

Определите внешнюю структуру выражения и примените соответствующее правило: разбивайте суммы на слагаемые, выносите постоянные множители, используйте правило произведения или частного, когда две части зависят от переменной, и цепное правило, когда внутри функции стоит не просто x. Затем повторите для каждой части. Ход решения выше следует именно этому порядку — от внешнего к внутреннему.

Когда применять цепное правило, а когда правило произведения?

Правило произведения — когда два перемноженных множителя оба зависят от x, как в x² sin x. Цепное правило — когда одна функция стоит внутри другой, как в sin(x²) или e^(3x). Многие задачи требуют обоих, например x² sin(3x).

Для чего нужна вторая производная?

Это производная от производной, поэтому она показывает, как быстро меняется сам наклон. Положительная вторая производная означает, что график выпуклый вниз (изгибается как чашка), отрицательная — выпуклый вверх. В точке, где f′ = 0, знак f″ отличает максимум от минимума.

Можно ли взять частную производную?

Да, в том смысле, который важен для вычисления. Введите функцию с несколькими буквами, например x^2 y + sin(y x), и выберите переменную, по которой дифференцировать; остальные буквы считаются постоянными. График скрыт для функций более одной переменной.

Почему производная |x| не определена в нуле?

График |x| имеет острый излом в начале координат: наклон равен −1 слева от нуля и +1 справа, поэтому единственной касательной нет. Вдали от нуля производная равна x/|x|, то есть −1 при отрицательном x и +1 при положительном.

Log — это натуральный логарифм или логарифм по основанию 10?

Здесь log — по основанию 10, как на научном калькуляторе, а ln — натуральный логарифм; в учебниках это различается, так что проверьте свой. Для любого другого основания введите log(x, b). Производная log(x) равна 1/(x ln 10), а ln(x) — 1/x.

Почему мой ответ выглядит иначе, чем в учебнике?

Эквивалентные выражения можно записать многими способами: (x + 1)eˣ и xeˣ + eˣ — это одна и та же функция. Если форма отличается, вычислите оба выражения в одной или двух точках — значения в выбранной точке позволяют это сделать, — а не считайте один из ответов неверным.