Geometrik Dönüşüm Hesaplayıcı
Bir nokta kümesinin ya da çokgenin köşelerini girin, en fazla dört dönüşüm seçin — öteleme, yansıma, döndürme veya ölçekleme — ve her noktanın görüntüsünü, her adımın ve tüm dizinin matrisini ve şeklin önce ve sonrasının grafiğini alın. 30°, 45° ve 90° gibi standart açılar tam olarak kalır. Ücretsiz, üyelik gerekmez ve hiçbir veri tarayıcınızdan ayrılmaz.
Üç veya daha fazla nokta, girildiği sırayla bir çokgen olarak çizilir.
Dönüşümler, verildiği sırayla uygulanır
Tam sayılar, ondalık sayılar veya 3/4 gibi kesirler.
Sonuçlar
1
Uzunluklar şununla çarpılır
1
Alan faktörü (determinant)
Korunur
Yönelim
3 → 3
Çokgen alanı
Noktaların görüntüleri
| Nokta | Özgün | Görüntü |
|---|---|---|
| A → A′ | (1, 1) | (−1, 1) |
| B → B′ | (4, 1) | (−1, 4) |
| C → C′ | (1, 3) | (−3, 1) |
Dönüşüm matrisi
Her adım, (x, y, 1) üzerine etki eden bir 3 × 3 matristir. Matrisler sağdan sola çarpılır; bu yüzden ilk adım en sağdaki çarpandır.
| 0 | −1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Önce ve sonra
Mavi özgün şekli, turuncu son görüntüyü gösterir; noktalı ana hatlar her önceki adımdan sonraki şekli gösterir ve yeşil bir yansıma doğrusunu veya merkezi işaretler.
Geometrik Dönüşüm Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Noktaları girin. Her satıra bir x, y çifti yazın, en fazla on iki tane. Üç veya daha fazla nokta, girdiğiniz sırayla bir çokgen olarak çizilir.
- 2. Bir dönüşüm seçin. Her adım bir öteleme, yansıma, döndürme veya ölçeklemedir ve kendi ayarları vardır: kaydırma miktarı, ayna doğrusu, açı ve merkez ya da ölçek faktörü ve merkez.
- 3. Gerekirse adımları zincirleyin. En fazla dört adım ekleyin; gösterildiği sırayla uygulanırlar. Grafikteki noktalı çizgiler, her önceki adımdan sonraki şekli gösterir.
- 4. Görüntüleri, matrisleri ve grafiği okuyun. Tablo her noktayı ve görüntüsünü listeler; matrisler dönüşümü sayılarla gösterir; grafik özgün şekli sonucun üzerine bindirir.
Dört Katı ve Benzerlik Dönüşümü
| Dönüşüm | (x, y) için kural | Neyi korur |
|---|---|---|
| (a, b) ile öteleme | (x + a, y + b) | Boyut, şekil, yönelim ve doğrultu |
| x eksenine göre yansıma | (x, −y) | Boyut ve şekil; yönelimi tersine çevirir |
| y eksenine göre yansıma | (−x, y) | Boyut ve şekil; yönelimi tersine çevirir |
| y = x doğrusuna göre yansıma | (y, x) | Boyut ve şekil; yönelimi tersine çevirir |
| Orijin etrafında θ kadar döndürme | (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) | Boyut, şekil ve yönelim |
| Orijine göre k ile ölçekleme | (kx, ky) | Şekil; uzunlukları |k| ile, alanları k² ile çarpar |
Başka bir merkeze veya doğruya göre dönüşümler bunlardan oluşturulur: merkezi orijine taşıyın, dönüştürün ve geri kaydırın.
Dönüşüm Matrisleri
Öteleme doğrusal olmadığı için 2 × 2 bir matris onu tanımlayamaz. Çözüm homojen koordinatlardır: noktayı (x, y, 1) olarak yazıp 3 × 3 matrisler kullanılır. (a, b) ile öteleme, satırları (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1) olan matrise dönüşür; θ ile döndürme (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1) olur; k ile ölçekleme ise (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1) olur. Her adım bir matris olduğu için tüm dizi tek bir matristir: adım matrislerinin çarpımıdır ve ilk adım en sağdaki çarpan olur. (c, d) merkezi etrafında bir döndürme T(c, d) · R · T(−c, −d) şeklindedir.
Matrisin 2 × 2 köşesinin determinantı, alanların nasıl değiştiğini ve şeklin aynalanıp aynalanmadığını söyler. Determinant 1 ise alan ve yönelim korunur (öteleme ve döndürmeler); −1 ise alan korunur ama yönelim ters çevrilir (tek bir yansıma); k² ise alanlar ölçek faktörünün karesiyle ölçeklenir. Hesaplayıcı bu determinantı, uzunlukların çarpıldığı faktörle birlikte rapor eder.
Çalışılmış Örnekler
Şu üçgenle başlayın: A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3); alanı 3'tür.
- Orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürün. (x, y), (−y, x) olur: A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). Matris (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1) olup determinantı 1'dir.
- y eksenine göre yansıtın. (x, y), (−x, y) olur: A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). Determinant −1'dir, yani yönelim ters çevrilir.
- (3, −2) kadar öteleyin. A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
- Orijine göre k = 2 ile ölçekleyin. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Uzunluklar iki katına çıkar ve alan 3'ten 12 = 3 × 2²'ye çıkar.
- Orijin etrafında 45° döndürün. (1, 0) noktası (√2/2, √2/2)'ye gider; tam olarak korunur.
- Sıra önemlidir. (1, 0) noktasını ele alın. Önce 90° döndürüp sonra (1, 0) kadar öteleyin: (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Önce öteleyip sonra döndürün: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).
Diğer Doğrulara Göre Yansıma
y = mx + b doğrusu için hesaplayıcı, y = mx etrafındaki yansıma matrisini kullanır: (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) matrisi 1 + m²'ye bölünür ve b kadar öteleme ile sarılır. Tüm girdiler rasyoneldir, bu yüzden sonuç tam olarak çıkar. x = c dikey doğrusu x'i 2c − x'e götürür. Örneğin orijini y = x + 2 doğrusuna göre yansıtmak (−2, 2) verir; çünkü doğru, iki noktayı birleştiren doğru parçasının dik açortayıdır.
Sık sorulan sorular
- Geometrik dönüşüm nedir?
- Düzlemdeki her noktayı yeni bir konuma taşıyan kuraldır. Öteleme kaydırır, yansıma bir doğruya göre çevirir, döndürme bir merkez etrafında çevirir ve ölçekleme bir merkeze göre boyutlandırır. İlk üçü uzaklıkları değiştirmeyen katı hareketlerdir; ölçekleme şekli korur ama boyutunu değiştirir.
- Bir noktayı orijin etrafında 90 derece nasıl döndürürsünüz?
- Saat yönünün tersine döndürmede (x, y), (−y, x) olur; saat yönünde ise (y, −x) olur. (3, 2) için bu, saat yönünün tersine (−2, 3), saat yönünde (2, −3) verir. 180° döndürme (x, y)'yi (−x, −y)'ye götürür.
- Orijin dışındaki bir nokta etrafında nasıl döndürürsünüz?
- Noktadan merkezi çıkarın, sonucu orijin etrafında döndürün, sonra merkezi geri ekleyin. Hesaplayıcı bunu T(c) · R · T(−c) matrisiyle yapar; ölçeklemelerde de seçtiğiniz merkeze göre yapar.
- Ölçeklemede alan nasıl değişir?
- Uzunluklar |k| ile, alanlar k² ile çarpılır. k = 3 ölçek faktörü şekli üç kat geniş ve dokuz kat alanlı yapar. Negatif bir k, şekli merkezden geçerek de çevirir; bu, |k| ile ölçekleme ve ardından 180° döndürmeyle aynıdır.
- Dönüşümlerin sırası önemli mi?
- Genellikle evet. Matris çarpımı değişmeli değildir; bu yüzden önce döndürüp sonra ötelemek, önce öteleyip sonra döndürmekten farklı sonuç verir, yukarıdaki örnekte olduğu gibi. Aynı merkez etrafındaki iki döndürme ya da iki öteleme ise sıra gözetmeksizin aynı sonucu verir.
- y = x doğrusuna göre nasıl yansıtırım?
- Koordinatları yer değiştirin: (x, y), (y, x) olur. y = −x doğrusuna göre yansıma (x, y)'yi (−y, −x)'e götürür. Başka bir y = mx + b doğrusu için yansıma adımında o seçeneği seçin ve m ile b'yi girin.