Euler Yöntemi Hesaplayıcı
dy/dx = f(x, y) denklemini, bir başlangıç noktasını ve bir bitiş değerini girin; Euler yöntemi, geliştirilmiş Euler (Heun) yöntemi ya da dördüncü dereceden Runge–Kutta ile yaklaşık çözümü alın. Her eğimi içeren tam adım tablosunu, kesin çözüme göre hatayı (ya da doğru bir referansı), adım yarıya indirildiğinde neyin değiştiğini ve üzerine çözümün çizildiği eğim alanı grafiğini görün. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Bağımsız değişken için x, bilinmeyen için y kullanın; + − * / ^ ve parantezlerle: x + y, x*y, y*(1 − y), sin(x) − y. İşlevler: sin, cos, tan, exp, ln, sqrt ve daha fazlası.
Kesin çözümü biliyorsanız, gerçek hatayı görmek için onu x cinsinden girin; aksi halde çok doğru bir RK4 referansı kullanılır.
Sonuçlar
3,1874849
y(1) yaklaşımı
3,4365637
Kesin y(1)
-0,249
Hata
0,1
Adım büyüklüğü h
10
Adım sayısı n
Yöntem
yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ): her adımın başındaki eğimi izler. Toplam hata h ile orantılıdır.
Adım tablosu
| n | xₙ | yₙ | k1 | Kesin y(xₙ) | Hata |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 | -0,0103 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 | -0,0228 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 | -0,0377 |
| 4 | 0,4 | 1,5282 | 1,9282 | 1,5836494 | -0,0554 |
| 5 | 0,5 | 1,72102 | 2,22102 | 1,7974425 | -0,0764 |
| 6 | 0,6 | 1,943122 | 2,543122 | 2,0442376 | -0,101 |
| 7 | 0,7 | 2,1974342 | 2,8974342 | 2,3275054 | -0,13 |
| 8 | 0,8 | 2,4871776 | 3,2871776 | 2,6510819 | -0,164 |
| 9 | 0,9 | 2,8158954 | 3,7158954 | 3,0192062 | -0,203 |
| 10 | 1 | 3,1874849 | 3,4365637 | -0,249 |
Aynı adımla üç yöntem
| Yöntem | Bitişteki y | Hata |
|---|---|---|
| Euler yöntemi | 3,1874849 | -0,249 |
| Geliştirilmiş Euler (Heun) | 3,4281617 | -0,0084 |
| Runge–Kutta 4 | 3,4365595 | -0,00000417 |
Adımı yarıya indirme (Euler yöntemi)
| n | h | Bitişteki y | Hata |
|---|---|---|---|
| 10 | 0,1 | 3,1874849 | -0,249 |
| 20 | 0,05 | 3,3065954 | -0,13 |
| 40 | 0,025 | 3,3701277 | -0,0664 |
| 80 | 0,0125 | 3,4029699 | -0,0336 |
Euler yönteminde h yarıya indiğinde hata yaklaşık yarıya iner; Heun'da dörtte birine; RK4'te on altıda birine.
Grafik
- Kesin çözüm
- Euler yöntemi
Euler Yöntemi Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Denklemi girin. dy/dx = f(x, y) denkleminin sağ tarafını x ve y kullanarak yazın:
x + y,y*(1 - y),sin(x) - y. - 2. Başlangıç koşulunu ve bitişi verin. x₀, y₀ = y(x₀) değerini ve çözümün ulaşmasını istediğiniz x değerini girin. Bitiş, x₀'ın soluna da düşebilir.
- 3. Adımı seçin. Bir adım büyüklüğü h girin ya da adım sayısı n'ye geçin. h aralığı tam bölmezse hesaplayıcı değeri ayarlar ve bunu size bildirir.
- 4. Bir yöntem seçin ve tabloyu okuyun. Her satır xₙ, yₙ ve kullanılan eğimleri listeler. Kesin çözümü biliyorsanız, gerçek hatayı görmek için onu girin.
Üç Yöntem
| Yöntem | Adım | Toplam hata |
|---|---|---|
| Euler | yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ) | h ile orantılı |
| Geliştirilmiş Euler (Heun) | yₙ₊₁ = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), burada k₁ = f(xₙ, yₙ) ve k₂ = f(xₙ + h, yₙ + h·k₁) | h² ile orantılı |
| Runge–Kutta 4 | yₙ₊₁ = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) | h⁴ ile orantılı |
Euler yöntemi, her adımın başındaki teğet doğrusunu izler. Heun yöntemi, adımın başındaki eğimi tahmin edilen bitiş noktasındaki eğimle ortalar; bu yüzden ona açık yamuk kuralı da denir. Runge–Kutta 4, her adımda eğimi dört kez örnekler ve bunları 1, 2, 2, 1 ağırlıklarıyla birleştirir. Bu yöntemler, Burden ve Faires'in Numerical Analysis kitabının 5. bölümündeki yöntemlerdir.
Çalışılmış Örnek: y′ = x + y, y(0) = 1
Kesin çözüm y = 2eˣ − x − 1'dir; dolayısıyla y(1) = 2e − 2 ≈ 3,4365637 olur. h = 0,1 ile Euler yönteminin ilk adımları şöyledir:
| n | xₙ | yₙ | eğim f(xₙ, yₙ) | kesin y(xₙ) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 |
Örneğin y₁ = 1 + 0,1 × (0 + 1) = 1,1 ve y₂ = 1,1 + 0,1 × (0,1 + 1,1) = 1,22'dir. On adımın ardından Euler yöntemi y(1) ≈ 3,1874849 değerine ulaşır; hata −0,2491'dir. Yöntem düşük tahmin eder, çünkü gerçek çözüm dışbükeydir ve teğet doğruları eğrinin altında kalır.
| Adım sayısı n (h) | x = 1'deki Euler hatası | Heun hatası | RK4 hatası |
|---|---|---|---|
| 10 (0,1) | −0,2491 | −0,0084 | −0,0000042 |
| 20 (0,05) | −0,1300 | −0,0022 | −0,00000027 |
| 40 (0,025) | −0,0664 | −0,00056 | −0,000000017 |
| 80 (0,0125) | −0,0336 | −0,00014 | −0,0000000011 |
h her yarıya indiğinde Euler yönteminin hatası yaklaşık yarıya, Heun'un hatası dörtte birine, RK4'ün hatası ise on altıda birine iner; bu, derece tablosunun öngördüğü şeydir. n = 10 için RK4 hatasına ulaşmak, Euler yönteminin birkaç yüz bin adım atmasını gerektirirdi.
Eğim Alanını ve Hatayı Okumak
Grafikteki kısa parçalar, bir ızgara noktasındaki f(x, y) eğimini gösterir: gerçek çözüm, her yerde bu parçalara teğet olan bir eğridir. Sayısal çözüm bunun üzerine çizilmiş bir çokgen olarak gösterilir; kesin çözümü girdiyseniz o, yanında kesikli bir çizgiyle çizilir. Kesin çözüm yoksa hata sütunu, en az 2.000 adımlı bir RK4 hesabından elde edilen referans değerle karşılaştırılır; bu değer, burada seçebileceğiniz her yöntemden çok daha doğrudur. Bazı denklemler sonlu zamanda patlar; örneğin y(0) = 1 ile y′ = y² için x = 1'de. Tablo, değerlerin sonsuz olduğu noktada durur.
Sık sorulan sorular
- Euler yöntemi nasıl çalışır?
- Çözümü adım adım kurar. (xₙ, yₙ) noktasından, diferansiyel denklemden f(xₙ, yₙ) eğimini hesaplar ve bu teğet doğrusu boyunca yatayda h kadar ilerler: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Her yeni nokta, bir sonraki adımın başlangıç noktası olur.
- Euler yöntemi ne kadar doğrudur?
- Adım başına yerel hatası h² ile orantılıdır, ancak hatalar yaklaşık 1/h adım üzerinde birikir; bu yüzden toplam hata h ile orantılıdır. Adımı yarıya indirmek hatayı da yarıya indirir. Öğrenmek için iyi, hassasiyet için zayıf bir yöntemdir.
- Geliştirilmiş Euler yöntemi nedir?
- Geliştirilmiş Euler yöntemi, ya da Heun yöntemi, önce aralığın bitişini tahmin etmek için bir Euler adımı atar, ardından bitişteki eğimi başlangıçtaki eğimle ortalar. Bu ikinci dereceden düzeltme, toplam hatayı h yerine h² ile orantılı kılar; bunun bedeli, her adımda iki eğim hesabıdır.
- Adım büyüklüğünü nasıl seçerim?
- Yarıya indirme tablosunu kullanın: önemsediğiniz basamaklarda cevap değişmeyene kadar h'yi küçültün. Euler yöntemi küçük bir h ister, ama RK4 çok daha büyük bir h ile aynı doğruluğa ulaşır. Sert (stiff) denklemler, yani hızla sönümlenen bileşenleri olan denklemler, bu yöntemlerin herhangi birinde küçük bir h gerektirebilir.
- İkinci dereceden denklemleri ya da denklem sistemlerini çözebilir mi?
- Hayır. Yalnızca tek bir birinci dereceden dy/dx = f(x, y) denklemini çözer. İkinci dereceden bir denklem birinci dereceden bir sisteme dönüştürülebilir, ancak bu araç sistemleri işlemez.
- Çözüm neden bir yerde duruyor?
- Değerler sonsuz oldu. Bu, gerçek çözüm sonlu zamanda patladığında ya da kararsız bir denklemde adım fazla büyük olduğunda olur. Tablo son sonlu satırda biter ve mesaj, bunun yakınında olduğu x değerini verir.