Calculateur de la méthode d'Euler
Saisissez dy/dx = f(x, y), un point initial et une valeur finale, et obtenez la solution approchée par la méthode d'Euler, la méthode d'Euler améliorée (Heun) ou le Runge–Kutta d'ordre 4 : le tableau complet des pas avec chaque pente, l'erreur par rapport à la solution exacte (ou à une référence précise), ce qui se passe lorsque le pas est divisé par deux, et un graphique du champ de pentes avec la solution tracée par-dessus. Gratuit, sans inscription.
Utilisez x pour la variable indépendante et y pour l'inconnue, avec + − * / ^ et des parenthèses : x + y, x*y, y*(1 − y), sin(x) − y. Fonctions : sin, cos, tan, exp, ln, sqrt et d'autres.
Si vous connaissez la solution exacte, saisissez-la en x pour voir l'erreur réelle ; sinon, une référence RK4 très précise est utilisée.
Résultats
3,1874849
Approximation de y(1)
3,4365637
y(1) exacte
-0,249
Erreur
0,1
Taille de pas h
10
Pas n
La méthode
yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ) : on suit la pente au début de chaque pas. L'erreur globale est proportionnelle à h.
Tableau des pas
| n | xₙ | yₙ | k1 | y(xₙ) exacte | Erreur |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 | -0,0103 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 | -0,0228 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 | -0,0377 |
| 4 | 0,4 | 1,5282 | 1,9282 | 1,5836494 | -0,0554 |
| 5 | 0,5 | 1,72102 | 2,22102 | 1,7974425 | -0,0764 |
| 6 | 0,6 | 1,943122 | 2,543122 | 2,0442376 | -0,101 |
| 7 | 0,7 | 2,1974342 | 2,8974342 | 2,3275054 | -0,13 |
| 8 | 0,8 | 2,4871776 | 3,2871776 | 2,6510819 | -0,164 |
| 9 | 0,9 | 2,8158954 | 3,7158954 | 3,0192062 | -0,203 |
| 10 | 1 | 3,1874849 | 3,4365637 | -0,249 |
Les trois méthodes avec le même pas
| Méthode | y à la fin | Erreur |
|---|---|---|
| Méthode d'Euler | 3,1874849 | -0,249 |
| Euler amélioré (Heun) | 3,4281617 | -0,0084 |
| Runge–Kutta 4 | 3,4365595 | -0,00000417 |
Division du pas par deux (Méthode d'Euler)
| n | h | y à la fin | Erreur |
|---|---|---|---|
| 10 | 0,1 | 3,1874849 | -0,249 |
| 20 | 0,05 | 3,3065954 | -0,13 |
| 40 | 0,025 | 3,3701277 | -0,0664 |
| 80 | 0,0125 | 3,4029699 | -0,0336 |
Pour la méthode d'Euler, l'erreur est à peu près divisée par deux lorsque h l'est ; pour Heun, elle tombe au quart ; pour RK4, au seizième.
Graphique
- Solution exacte
- Méthode d'Euler
Comment utiliser le calculateur de la méthode d'Euler
- 1. Saisissez l'équation. Écrivez le membre de droite de dy/dx = f(x, y) avec x et y :
x + y,y*(1 - y),sin(x) - y. - 2. Donnez la condition initiale et la fin. Saisissez x₀, y₀ = y(x₀) et la valeur de x jusqu'à laquelle résoudre. La fin peut se trouver à gauche de x₀.
- 3. Choisissez le pas. Saisissez une taille de pas h, ou passez à un nombre de pas n. Si h ne divise pas exactement l'intervalle, le calculateur l'ajuste et vous le signale.
- 4. Choisissez une méthode et lisez le tableau. Chaque ligne donne xₙ, yₙ et les pentes utilisées. Si vous connaissez la solution exacte, saisissez-la pour voir l'erreur réelle.
Les trois méthodes
| Méthode | Pas | Erreur globale |
|---|---|---|
| Euler | yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ) | proportionnelle à h |
| Euler amélioré (Heun) | yₙ₊₁ = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), avec k₁ = f(xₙ, yₙ) et k₂ = f(xₙ + h, yₙ + h·k₁) | proportionnelle à h² |
| Runge–Kutta 4 | yₙ₊₁ = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) | proportionnelle à h⁴ |
La méthode d'Euler suit la tangente au début de chaque pas. La méthode de Heun fait la moyenne entre la pente au début et la pente à la fin prédite, ce qui explique qu'on l'appelle aussi règle du trapèze explicite. Le Runge–Kutta d'ordre 4 évalue la pente quatre fois par pas et pondère ces valeurs par 1, 2, 2, 1. Ce sont les méthodes exposées par Burden et Faires dans Numerical Analysis, chapitre 5.
Exemple détaillé : y′ = x + y, y(0) = 1
La solution exacte est y = 2eˣ − x − 1, donc y(1) = 2e − 2 ≈ 3,4365637. Avec la méthode d'Euler et h = 0,1, les premiers pas sont :
| n | xₙ | yₙ | pente f(xₙ, yₙ) | y(xₙ) exacte |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 |
Par exemple, y₁ = 1 + 0,1 × (0 + 1) = 1,1 et y₂ = 1,1 + 0,1 × (0,1 + 1,1) = 1,22. Après dix pas, la méthode d'Euler atteint y(1) ≈ 3,1874849, soit une erreur de −0,2491 : elle sous-estime, car la solution vraie est convexe et les tangentes restent en dessous de la courbe.
| Nombre de pas n (h) | Erreur d'Euler en x = 1 | Erreur de Heun | Erreur de RK4 |
|---|---|---|---|
| 10 (0,1) | −0,2491 | −0,0084 | −0,0000042 |
| 20 (0,05) | −0,1300 | −0,0022 | −0,00000027 |
| 40 (0,025) | −0,0664 | −0,00056 | −0,000000017 |
| 80 (0,0125) | −0,0336 | −0,00014 | −0,0000000011 |
Chaque division de h par deux réduit l'erreur d'Euler environ de moitié, celle de Heun au quart et celle de RK4 au seizième, comme le prévoit l'ordre de chaque méthode. Pour égaler l'erreur de RK4 avec n = 10, la méthode d'Euler demanderait plusieurs centaines de milliers de pas.
Lire le champ de pentes et l'erreur
Les petits segments du graphique indiquent la pente f(x, y) en un quadrillage de points : la solution vraie est une courbe tangente à ces segments partout. La solution numérique est tracée sous forme de ligne brisée par-dessus ; si vous fournissez la solution exacte, elle est tracée en pointillés à côté. Sans solution exacte, la colonne d'erreur compare à une valeur de référence obtenue par RK4 avec au moins 2 000 pas, bien plus précise que toute méthode proposée ici. Certaines équations explosent en temps fini, comme y′ = y² avec y(0) = 1 : le tableau s'arrête là où les valeurs deviennent infinies, en x = 1.
Questions fréquentes
- Comment fonctionne la méthode d'Euler ?
- Elle construit la solution pas à pas. À partir du point (xₙ, yₙ), elle calcule la pente f(xₙ, yₙ) donnée par l'équation différentielle, puis avance le long de cette tangente sur une distance horizontale h, ce qui donne yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Chaque nouveau point sert de point de départ au pas suivant.
- Quelle est la précision de la méthode d'Euler ?
- Son erreur locale par pas est proportionnelle à h², mais les erreurs s'accumulent sur environ 1/h pas, donc l'erreur globale est proportionnelle à h. Diviser le pas par deux divise l'erreur par deux. C'est une bonne méthode pour apprendre et une mauvaise méthode pour la précision.
- Qu'est-ce que la méthode d'Euler améliorée ?
- La méthode d'Euler améliorée, ou méthode de Heun, effectue d'abord un pas d'Euler pour prédire la fin de l'intervalle, puis fait la moyenne entre la pente à cet endroit et la pente au début. Cette correction du second ordre rend l'erreur globale proportionnelle à h² au lieu de h, au prix de deux évaluations de la pente par pas.
- Comment choisir la taille du pas ?
- Utilisez le tableau de division par deux : réduisez h jusqu'à ce que la réponse ne change plus dans les chiffres qui vous intéressent. La méthode d'Euler exige un petit h, mais RK4 atteint la même précision avec un pas beaucoup plus grand. Les équations raides (dont certaines composantes décroissent très vite) peuvent imposer un petit h avec l'une ou l'autre de ces méthodes.
- Peut-on résoudre des équations du second ordre ou des systèmes ?
- Non. L'outil résout une seule équation du premier ordre dy/dx = f(x, y). Une équation du second ordre peut être réécrite comme un système du premier ordre, mais cet outil ne gère pas les systèmes.
- Pourquoi la solution s'arrête-t-elle en cours de route ?
- Les valeurs sont devenues infinies, ce qui se produit lorsque la solution vraie explose en temps fini ou lorsque le pas est trop grand pour une équation instable. Le tableau s'arrête à la dernière ligne finie, et le message indique la valeur de x proche de laquelle cela s'est produit.