팩토리얼 계산기
정수 n을 입력하면 n!을 한 자리도 빠짐없이 정확하게 구하고, 이중 팩토리얼 n!!, 자릿수, 끝자리 0의 개수, 그리고 스털링 근사와 그 오차를 함께 보여 드립니다. 소수는 감마 함수로 계산합니다. 무료이며 회원가입이 필요 없고, 어떤 값도 반올림하지 않습니다.
0부터 10,000까지의 정수입니다. 4.5와 같은 소수는 감마 함수를 사용합니다.
결과
2,432,902,008,176,640,000
n!
19
n!의 자릿수
4
끝자리 0의 개수
3,715,891,200
이중 팩토리얼, n!!
≈ 2.4227868 × 10^18
스털링 근사
0.416%
n!보다 얼마나 작은지
0.000831%
1/(12n) 보정의 오차
계산 과정
- 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!이므로, 각 팩토리얼은 바로 앞의 값에 20을 곱한 것입니다.
- 끝자리 0은 각각 10 = 2 × 5의 인수에서 생깁니다. 5는 2보다 드물기 때문에 5의 개수를 셉니다: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
- 이중 팩토리얼은 두 칸씩 건너뛰며 곱합니다: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3,715,891,200.
- 스털링 공식 √(2πn) (n/e)ⁿ은 약 2.4227868 × 10^18를 주며, 이는 정확한 값보다 0.416% 작습니다.
팩토리얼 계산기 사용 방법
- 1. n을 입력하세요. 0부터 10,000 사이의 정수를 입력하면 됩니다. 입력하는 동안 결과가 바로 갱신됩니다.
- 2. 정확한 값을 읽으세요. 작은 팩토리얼은 세 자리마다 쉼표를 넣어 표시됩니다. 큰 값은 과학적 표기법으로 된 큰 제목 숫자와, 모든 자릿수를 담은 스크롤 상자 및 복사 버튼으로 나타납니다.
- 3. 부가 정보를 확인하세요. 자릿수, 끝자리 0의 개수, 이중 팩토리얼 n!!, 그리고 n!보다 얼마나 작은지 보여 주는 스털링 근사를 함께 볼 수 있습니다.
- 4. 소수를 입력해 보세요. 4.5 같은 값에는 Γ(5.5) = 4.5!을 계산합니다. 감마 함수가 음의 정수를 제외한 모든 수로 팩토리얼을 확장하기 때문입니다.
팩토리얼이란 무엇인가
음이 아닌 정수 n의 팩토리얼 n!은 1부터 n까지 모든 정수를 곱한 값입니다. 예를 들어 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120입니다. 이는 n개의 서로 다른 것을 한 줄로 배열하는 방법의 수를 세며, 책 세 권은 3! = 6가지 순서로 꽂을 수 있습니다. 순열, 조합, 이항정리의 기초가 되는 개념입니다. 각 팩토리얼은 바로 앞의 값에 n을 곱한 것입니다: n! = n × (n − 1)!.
0!은 왜 1인가요? n! = n × (n − 1)! 규칙을 n = 1까지 따라가면 1! = 1 × 0!이 되는데, 이는 0! = 1일 때만 성립합니다. 아무것도 배열하지 않는 방법은 정확히 하나뿐이라는 계수적 의미, 그리고 빈 곱은 관례상 1이라는 사실과도 맞습니다.
| n | n! | 끝자리 0의 개수 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 3 | 6 | 0 |
| 4 | 24 | 0 |
| 5 | 120 | 1 |
| 6 | 720 | 1 |
| 7 | 5,040 | 1 |
| 8 | 40,320 | 1 |
| 9 | 362,880 | 1 |
| 10 | 3,628,800 | 2 |
| 15 | 1,307,674,368,000 | 3 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 | 4 |
끝자리 0: 르장드르의 공식
n!의 끝에 있는 0은 10 = 2 × 5의 인수에서 나옵니다. 2의 인수는 항상 5의 인수보다 많으므로, 끝자리 0의 개수는 1 × 2 × … × n 안에 있는 5의 개수와 같습니다. 5의 배수를 세고, 25의 배수를 더하고(각각 5를 하나 더 가지고 있습니다), 125의 배수를 더하는 식으로 계속합니다. 0의 개수 = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. 100!의 경우 20 + 4 = 24개입니다. 100!은 모두 158자리입니다.
스털링 근사
n이 클 때 n!은 √(2πn) (n/e)ⁿ로 근사합니다. 이 근사값은 항상 참값보다 약간 작으며, 상대 오차는 대략 1/(12n)입니다. n = 10일 때는 0.83%(3.5986956 × 10⁶ 대 3,628,800), n = 100일 때는 0.083%(9.3248476 × 10¹⁵⁷ 대 9.3326215 × 10¹⁵⁷)입니다. (1 + 1/(12n))을 곱하면 오차의 대부분이 사라집니다. 이 근사 덕분에 로그만으로도 매우 큰 팩토리얼의 크기를 가늠할 수 있습니다.
이중 팩토리얼과 감마 함수
이중 팩토리얼 n!!은 n부터 두 칸씩 건너뛰며 곱합니다. 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945이고, 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384입니다. (n!)!이 아닙니다. 관례상 0!! = 1이며, n!! × (n − 1)!! = n!입니다. 감마 함수 Γ(x)는 팩토리얼을 일반화합니다. 정수 n에 대해 Γ(n + 1) = n!이며, (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0.8862처럼 소수에도 정의됩니다. Γ(x)는 0과 음의 정수에서 값이 없으므로 (−1)!과 (−2)!는 존재하지 않습니다.
컴퓨터에서 팩토리얼은 얼마나 커질 수 있을까요?
20! = 2,432,902,008,176,640,000은 부호 있는 64비트 정수에 들어가는 가장 큰 팩토리얼이고, 170! ≈ 7.26 × 10³⁰⁶은 배정밀도 부동소수점 수에 들어가는 가장 큰 팩토리얼입니다. 이 계산기는 크기 제한이 없는 정수를 사용하므로 10,000!도 정확히 계산하며, 그 결과는 35,660자리입니다.
자주 묻는 질문
- 0!은 왜 1인가요?
- 팩토리얼 규칙 n! = n × (n − 1)!이 n = 1에서도 성립해야 하기 때문입니다. 그러면 1 = 1 × 0!이 됩니다. 계수적 의미와도 맞습니다. 아무것도 배열하지 않는 방법은 한 가지뿐이며, 곱할 수가 하나도 없는 빈 곱은 1입니다.
- 100!은 0이 몇 개로 끝나나요?
- 24개입니다. 5의 인수를 세면 됩니다. 5의 배수 20개(⌊100/5⌋)와 25의 배수 4개(⌊100/25⌋)를 더하면 24가 되며, 이를 짝지을 2는 충분히 많습니다.
- 음수나 소수의 팩토리얼을 구할 수 있나요?
- 음의 정수의 팩토리얼은 구할 수 없습니다. 그 지점에서 감마 함수가 극을 갖기 때문입니다. 소수와 정수가 아닌 음수는 Γ(n + 1)을 통해 계산합니다. 예를 들어 4.5! ≈ 52.34, (−0.5)! = √π ≈ 1.7725입니다.
- 이중 팩토리얼이란 무엇인가요?
- n!!은 n부터 1 또는 2까지 두 칸씩 건너뛰며 곱한 값입니다. 따라서 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105이고, 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3,840입니다. (n!)!은 엄청나게 큰 수이므로 이것과는 다릅니다.
- 카드 52장은 몇 가지로 배열할 수 있나요?
- 52! = 8.0658175… × 10⁶⁷, 즉 68자리 수입니다. 충분히 섞은 카드 한 벌은 사실상 지금까지 아무도 만들어 본 적 없는 배열입니다.
- 스털링 근사는 얼마나 정확한가요?
- 상대 오차는 약 1/(12n)이므로, n = 10일 때는 0.83%, n = 100일 때는 0.083% 작게 나옵니다. 계산기는 입력한 n에 대한 정확한 오차와, 1/(12n) 보정을 더한 뒤의 오차를 보여 줍니다.