कर्व फ़िटिंग कैलकुलेटर
x और y मान चिपकाएँ और एक ही बार में रैखिक, बहुपद (घात 2–6), घातांकी, लघुगणकीय और घात वक्र फ़िट करें। हर समीकरण R², समायोजित R², RMSE, AIC और AICc के साथ साथ-साथ मिलता है, साथ में सभी वक्रों वाला प्लॉट, अवशेष निदान, पैरामीटर की मानक त्रुटियाँ और नए x मानों के पूर्वानुमान। निःशुल्क, साइन-अप नहीं; सब कुछ आपके ब्राउज़र में चलता है।
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कम से कम चार (x, y) जोड़ियाँ दर्ज करें, जिनमें x के कम से कम तीन अलग मान हों।
कर्व फ़िटिंग कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. डेटा दर्ज करें। दो सूचियाँ एक ही क्रम में लिखें, या हर पंक्ति पर एक “x, y” जोड़ी। कम से कम चार बिंदु चाहिए, जिनमें x के कम से कम तीन अलग मान हों; ज़्यादा बेहतर है।
- 2. मॉडल चुनें। जिन वक्रों की तुलना करनी है उन पर टिक करें। लघुगणकीय और घात मॉडल के लिए हर x 0 से बड़ा होना चाहिए; घातांकी और घात मॉडल के लिए हर y 0 से बड़ा। जो मॉडल फ़िट नहीं हो सकता, वह कारण बताता है।
- 3. घातांकी और घात वक्रों के लिए फ़िटिंग विधि चुनें। मूल y पर अरैखिक न्यूनतम वर्ग से आपके वास्तविक मानों का सबसे अच्छा फ़िट मिलता है। “ln y के माध्यम से सीधी रेखा” विकल्प ln y के माध्यम से एक सीधी रेखा फ़िट करता है, जैसा स्प्रेडशीट ट्रेंडलाइन करती हैं।
- 4. तुलना करें और जाँचें। तालिका पढ़ें, फिर जिस मॉडल पर विचार कर रहे हैं उसका प्लॉट और अवशेष देखें: अगर वक्र का आकार गलत है तो सबसे अच्छी संख्या का कोई मतलब नहीं। नए x मानों के लिए पूर्वानुमान बॉक्स इस्तेमाल करें।
वक्र
| मॉडल | समीकरण | आम उपयोग |
|---|---|---|
| रैखिक | y = a₀ + a₁x | स्थिर परिवर्तन |
| बहुपद, घात d | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | मोड़ों वाला चिकना वक्र; अधिकतम d − 1 मोड़ बिंदु |
| घातांकी | y = a·e^(bx) | स्थिर प्रतिशत दर से वृद्धि या क्षय |
| लघुगणकीय | y = a + b·ln x | तेज़ परिवर्तन जो समतल होता जाता है |
| घात | y = a·x^b | मापनी नियम; b लोच है |
हर बहुपद केंद्रित और पुनःस्केल किए गए x पर QR अपघटन से फ़िट होता है, इसलिए कैलेंडर वर्षों (1990–2020) पर घात-6 फ़िट भी 0 से 1 तक के फ़िट जितना सटीक होता है, और पूर्वानुमान इसी स्थिर रूप का उपयोग करते हैं। समीकरण में दिखाए गए विस्तारित गुणांक तब भी अंक खो सकते हैं जब x बड़ा हो और शून्य से दूर हो, और ऐसा होने पर पेज चेतावनी देता है। स्प्रेडशीट ट्रेंडलाइन समीकरण गुणांकों को कुछ अंकों पर गोल कर देते हैं, इसलिए उसी कारण से वर्ष-आकार के x मानों पर उच्च-घात वक्र दोबारा नहीं बना सकते।
घातांकी और घात फ़िट के लिए विधि क्यों मायने रखती है
रूपांतरित फ़िट ln y लेता है, उसकी न्यूनतम-वर्ग सीधी रेखा निकालता है, और फिर वापस बदलता है। यह लॉग-स्केल पर त्रुटियों को कम करता है, जो छोटे मानों को भारी और बड़े मानों को हल्का तौलता है। अरैखिक फ़िट y पर ही वर्ग त्रुटियाँ कम करता है, जो आमतौर पर वही है जिसकी आपको परवाह है। एक ही डेटा के लिए दोनों अलग पैरामीटर और अलग R² देते हैं। यह कैलकुलेटर हर मॉडल के लिए R² मूल y पर दिखाता है ताकि उनकी निष्पक्ष तुलना हो, और रूपांतरित फ़िट के लिए वह लॉग-स्केल R² भी जो स्प्रेडशीट दिखाती है।
कार्यरत उदाहरण
यह उदाहरण क्लासिक 50 कार-ब्रेकिंग मापों को लोड करता है (R के cars डेटा): mph में गति बनाम फ़ुट में रुकने की दूरी। छह मॉडल, मूल पैमाने पर फ़िट:
| मॉडल | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| घात: y = 0.5897 x^1.5493 | 0.6654 | 15.06 | 417.59 | 0 |
| घातांकी: y = 9.4045 e^(0.0917x) | 0.6649 | 15.07 | 417.66 | 0.07 |
| द्विघात | 0.6673 | 15.18 | 419.66 | 2.07 |
| रैखिक: y = −17.58 + 3.932x | 0.6511 | 15.38 | 419.68 | 2.09 |
| घन | 0.6732 | 15.20 | 421.25 | 3.66 |
| लघुगणकीय | 0.5607 | 17.26 | 431.19 | 13.61 |
R² हर बहुपद पद के साथ बढ़ता है — घन 0.6732 और घात-6 बहुपद 0.6888 पाता है — लेकिन AICc, जो हर पैरामीटर का शुल्क लेता है, दो-पैरामीटर वाले घात और घातांकी वक्रों को सबसे ऊपर रखता है। घात वक्र का अर्थ भी सार्थक है: ब्रेकिंग दूरी लगभग गति की 1.5 घात से बढ़ती है (b = 1.55, SE 0.19), जो भौतिकी के सुझाए रैखिक और वर्ग संबंध के बीच है। शीर्ष मॉडल एक-दूसरे से लगभग 2 AICc बिंदुओं के भीतर हैं, इसलिए डेटा उन्हें अलग नहीं कर सकता; जो मॉडल समझ में आए उसे चुनें। इसी डेटा पर रूपांतरित घात वक्र फ़िट करें तो लॉग-स्केल R² 0.7331 है, पर मूल-पैमाने R² गिरकर 0.6583 हो जाता है।
मॉडल सोच-समझकर चुनना
- पहले प्लॉट देखें, फिर अवशेष। अवशेषों में कोई पैटर्न हो तो आकार गलत है।
- अलग-अलग संख्या वाले पैरामीटर के मॉडलों की तुलना के लिए R² के बजाय AICc इस्तेमाल करें। AICc केवल उन मॉडलों के बीच तुलनीय है जो एक ही y मानों पर फ़िट हुए हों। लगभग 2 से कम अंतर अर्थपूर्ण नहीं है।
- सिद्धांत को प्राथमिकता दें। अगर आप प्रक्रिया जानते हैं (चक्रवृद्धि वृद्धि, मापनी नियम), तो मिलता-जुलता मॉडल लें, भले ही कोई दूसरा थोड़ा बेहतर स्कोर करे।
- बहुपद की घात कम रखें। घात 3 या 4 से आगे बहुपद अक्सर शोर का पीछा करता है और डेटा के बाहर तेज़ी से झूलता है। उसके साथ बाहर एक्सट्रापोलेट न करें।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- सबसे अच्छा फ़िट करने वाला वक्र कैसे चुनूँ?
- डेटा और हर वक्र का प्लॉट बनाएँ, जाँचें कि अवशेष शून्य के चारों ओर समान रूप से बिखरे हों, और मॉडलों के बीच AICc की तुलना करें। केवल R² हमेशा सबसे अधिक पैरामीटर वाले मॉडल को पसंद करता है। फिर पूछें कि विजेता उस प्रक्रिया के लिए समझ में आता है जिसका आप अध्ययन कर रहे हैं, और क्या आप उसे केवल अपने सबसे छोटे और सबसे बड़े x के बीच इस्तेमाल करेंगे।
- मेरा घातांकी R² Excel से अलग क्यों है?
- Excel का घातांकी ट्रेंडलाइन ln y के माध्यम से एक सीधी रेखा फ़िट करता है और उस लॉग-स्केल फ़िट का R² देता है। अरैखिक न्यूनतम-वर्ग फ़िट स्वयं y में त्रुटियाँ कम करता है, और उसका R² y पर मापा जाता है। यह कैलकुलेटर दोनों कर सकता है: रूपांतरित विकल्प के लिए लॉग-स्केल R² और सभी मॉडलों के लिए मूल-पैमाने R² दिखाता है, ताकि तुलना निष्पक्ष रहे।
- बहुपद की कौन-सी घात इस्तेमाल करूँ?
- सबसे निचली घात लें जो आपको दिख रहे आकार को पकड़े, आमतौर पर 2 या 3। हर अतिरिक्त घात वक्र को एक और मोड़ देने देती है और शोर में फ़िट करती है; R² बढ़ता है पर पूर्वानुमान बिगड़ते हैं। आपको कम से कम घात + 2 डेटा बिंदु चाहिए, और भरोसेमंद फ़िट के लिए उससे कहीं ज़्यादा।
- मैं अपने डेटा पर लघुगणकीय, घात या घातांकी मॉडल क्यों फ़िट नहीं कर सकता?
- लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित है। लघुगणकीय या घात मॉडल को हर x 0 से बड़ा चाहिए, और घातांकी या घात मॉडल को हर y 0 से बड़ा, क्योंकि फ़िट ln y या ln x के माध्यम से चलता है। डेटा को खिसकाएँ (जैसे समय 0 के बजाय 1 से मापें) तभी जब वह आपकी समस्या के लिए अर्थपूर्ण हो।
- AIC और AICc का क्या अर्थ है?
- AIC फ़िट और जटिलता में संतुलन रखता है: यह −2 गुणा लॉग-संभावना और दोगुनी पैरामीटर संख्या (त्रुटि-विचरण सहित) है। AICc एक सुधार जोड़ता है जो तब मायने रखता है जब n पैरामीटर संख्या की तुलना में छोटा हो। कम मान बेहतर हैं, और केवल अंतर मायने रखते हैं। यहाँ के मान R की परिभाषा इस्तेमाल करते हैं, इसलिए वे उसी मॉडल के लिए R के AIC से मेल खाते हैं।
- क्या मैं फ़िट समीकरण से अपने डेटा के बाहर पूर्वानुमान लगा सकता हूँ?
- केवल बहुत सावधानी से। यहाँ का हर वक्र उस सीमा का अनुभवजन्य वर्णन है जिसे आपने मापा है। बहुपद डेटा के ठीक बाहर तेज़ी से झूल सकते हैं, और घातांकी विस्फोटक हो सकता है। पूर्वानुमान बॉक्स चेतावनी देता है जब नया x देखी गई सीमा से बाहर हो।