Calculateur d'ajustement de courbes
Collez des valeurs de x et de y et ajustez en une seule fois des courbes linéaires, polynomiales (degré 2 à 6), exponentielles, logarithmiques et de puissance. Vous obtenez chaque équation avec R², R² ajusté, RMSE, AIC et AICc côte à côte, un graphique avec toutes les courbes, un diagnostic des résidus, les erreurs types des paramètres et des prédictions pour de nouvelles valeurs de x. Gratuit, sans inscription ; tout s'exécute dans votre navigateur.
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Saisissez au moins quatre paires (x, y), avec au moins trois valeurs de x différentes.
Comment utiliser le calculateur d'ajustement de courbes
- 1. Saisissez vos données. Tapez deux listes dans le même ordre, ou une paire « x, y » par ligne. Il faut au moins quatre points et au moins trois valeurs de x différentes ; davantage est préférable.
- 2. Choisissez les modèles. Cochez les courbes à comparer. Les modèles logarithmique et puissance exigent que chaque x soit supérieur à 0 ; les modèles exponentiel et puissance exigent que chaque y soit supérieur à 0. Un modèle qui ne peut pas être ajusté indique la raison.
- 3. Choisissez la méthode d'ajustement pour les courbes exponentielle et puissance. Les moindres carrés non linéaires sur le y d'origine donnent le meilleur ajustement à vos valeurs réelles. L'option transformée ajuste une droite passant par ln y, comme le font les courbes de tendance des tableurs.
- 4. Comparez et vérifiez. Lisez le tableau, puis le graphique et les résidus du modèle que vous envisagez : le meilleur chiffre n'a guère de sens si la forme de la courbe est fausse. Utilisez la zone de prédiction pour de nouvelles valeurs de x.
Les courbes
| Modèle | Équation | Usage typique |
|---|---|---|
| Linéaire | y = a₀ + a₁x | Changement régulier |
| Polynomiale, degré d | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | Courbe lisse avec des inflexions ; d − 1 points de retournement au plus |
| Exponentielle | y = a·e^(bx) | Croissance ou décroissance à taux constant en pourcentage |
| Logarithmique | y = a + b·ln x | Changement rapide qui se stabilise |
| Puissance | y = a·x^b | Lois d'échelle ; b est l'élasticité |
Chaque polynôme est ajusté par décomposition QR sur un x centré et remis à l'échelle : un ajustement de degré 6 aux années civiles (1990–2020) est aussi précis qu'un ajustement sur 0–1, et les prédictions utilisent cette forme stable. Les coefficients développés affichés dans l'équation peuvent encore perdre des chiffres par annulation lorsque x est grand et éloigné de zéro, et la page vous en avertit le cas échéant. Pour la même raison, les équations de courbes de tendance des tableurs, qui arrondissent les coefficients à quelques chiffres, ne peuvent pas reproduire les courbes de haut degré sur des valeurs de x de l'ordre de l'année.
Pourquoi la méthode compte pour les ajustements exponentiel et puissance
Un ajustement transformé prend ln y, trouve la droite des moindres carrés, puis revient en arrière. Cela minimise les erreurs sur l'échelle logarithmique, qui pèse fortement les petites valeurs et faiblement les grandes. Un ajustement non linéaire minimise les carrés des erreurs sur y lui-même, ce qui est généralement ce qui vous intéresse. Les deux donnent des paramètres et des R² différents pour les mêmes données. Ce calculateur indique pour tous les modèles le R² sur le y d'origine, afin de les comparer équitablement, et, pour un ajustement transformé, le R² sur l'échelle logarithmique qu'afficherait un tableur.
Exemple détaillé
L'exemple charge les 50 mesures classiques de freinage de voitures (les données cars de R) : vitesse en miles par heure en fonction de la distance d'arrêt en pieds. Six modèles, ajustés sur l'échelle d'origine :
| Modèle | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| Puissance : y = 0,5897 x^1,5493 | 0,6654 | 15,06 | 417,59 | 0 |
| Exponentielle : y = 9,4045 e^(0,0917x) | 0,6649 | 15,07 | 417,66 | 0,07 |
| Quadratique | 0,6673 | 15,18 | 419,66 | 2,07 |
| Linéaire : y = −17,58 + 3,932x | 0,6511 | 15,38 | 419,68 | 2,09 |
| Cubique | 0,6732 | 15,20 | 421,25 | 3,66 |
| Logarithmique | 0,5607 | 17,26 | 431,19 | 13,61 |
Le R² augmente à chaque terme polynomial — le cubique obtient 0,6732 et un polynôme de degré 6, 0,6888 — mais l'AICc, qui pénalise chaque paramètre, classe en tête les courbes puissance et exponentielle, qui n'ont que deux paramètres. La courbe puissance a aussi un sens concret : la distance de freinage croît à peu près comme la vitesse à la puissance 1,5 (b = 1,55, erreur type 0,19), entre les relations linéaire et quadratique que suggère la physique. Les meilleurs modèles sont à moins de 2 points d'AICc les uns des autres : les données ne peuvent pas les départager, alors choisissez celui qui a du sens. Ajustée comme courbe puissance transformée, la courbe donne un R² de 0,7331 sur l'échelle logarithmique, mais le R² sur l'échelle d'origine tombe à 0,6583.
Choisir un modèle avec discernement
- Commencez par le graphique, puis les résidus. Une configuration dans les résidus signifie que la forme de la courbe est fausse.
- Utilisez l'AICc plutôt que le R² pour comparer des modèles ayant un nombre différent de paramètres. L'AICc n'est comparable qu'entre modèles ajustés aux mêmes valeurs de y. Les écarts inférieurs à environ 2 ne sont pas significatifs.
- Privilégiez la théorie. Si vous connaissez le processus (croissance composée, loi d'échelle), utilisez le modèle correspondant même si un autre obtient un score légèrement meilleur.
- Gardez les degrés polynomiaux bas. Au-delà du degré 3 ou 4, un polynôme suit souvent le bruit et oscille fortement en dehors des données. N'extrapolez pas avec un tel modèle.
Questions fréquentes
- Comment choisir la courbe la mieux ajustée ?
- Tracez les données et chaque courbe, vérifiez que les résidus se répartissent uniformément autour de zéro, et comparez l'AICc entre les modèles. Le R² seul favorise toujours le modèle qui a le plus de paramètres. Demandez-vous ensuite si le modèle retenu a du sens pour le processus étudié et si vous ne l'utiliserez qu'entre votre plus petite et votre plus grande valeur de x.
- Pourquoi mon R² exponentiel diffère-t-il de celui d'Excel ?
- La courbe de tendance exponentielle d'Excel ajuste une droite passant par ln y et indique le R² de cet ajustement sur l'échelle logarithmique. Un ajustement non linéaire aux moindres carrés minimise les erreurs sur y lui-même, et son R² est mesuré sur y. Ce calculateur peut faire les deux : il affiche le R² sur l'échelle logarithmique pour l'option transformée, et le R² sur l'échelle d'origine pour tous les modèles, afin que la comparaison soit équitable.
- Quel degré de polynôme utiliser ?
- Le plus petit degré qui capture la forme observée, généralement 2 ou 3. Chaque degré supplémentaire permet à la courbe de se courber une fois de plus et d'épouser le bruit ; le R² augmente, mais les prédictions se dégradent. Il vous faut au moins degré + 2 points de données, et bien davantage pour un ajustement fiable.
- Pourquoi ne puis-je pas ajuster un modèle logarithmique, puissance ou exponentiel à mes données ?
- Le logarithme n'est défini que pour des nombres positifs. Un modèle logarithmique ou puissance exige que chaque x soit supérieur à 0, et un modèle exponentiel ou puissance exige que chaque y soit supérieur à 0, car l'ajustement passe par ln y ou ln x. Décalez les données (par exemple en mesurant le temps à partir de 1 au lieu de 0) seulement si cela a un sens pour votre problème.
- Que signifient AIC et AICc ?
- L'AIC équilibre l'ajustement et la complexité : c'est −2 fois la log-vraisemblance plus deux fois le nombre de paramètres (en comptant la variance d'erreur). L'AICc ajoute une correction qui compte lorsque n est petit par rapport au nombre de paramètres. Plus la valeur est basse, mieux c'est, et seuls les écarts comptent. Les valeurs ici utilisent la définition de R, si bien qu'elles correspondent à l'AIC de R pour le même modèle.
- Puis-je utiliser l'équation ajustée pour prédire en dehors de mes données ?
- Seulement avec beaucoup de prudence. Chaque courbe ici est une description empirique de la plage mesurée. Les polynômes peuvent osciller fortement juste au-delà des données, et une exponentielle peut exploser. La zone de prédiction vous avertit lorsque la nouvelle valeur de x se situe hors de la plage observée.