Kalkulator Pencocokan Kurva
Tempelkan nilai x dan y, lalu cocokkan sekaligus kurva linear, polinomial (derajat 2–6), eksponensial, logaritmik, dan pangkat. Anda mendapatkan setiap persamaan dengan R², R² disesuaikan, RMSE, AIC, dan AICc secara berdampingan, plot dengan setiap kurva, diagnostik residual, galat baku parameter, dan prediksi untuk nilai x baru. Gratis, tanpa perlu mendaftar; semuanya berjalan di peramban Anda.
0 nilai
0 nilai
Masukkan minimal empat pasangan (x, y), dengan minimal tiga nilai x yang berbeda.
Cara Menggunakan Kalkulator Pencocokan Kurva
- 1. Masukkan data Anda. Ketik dua daftar dengan urutan yang sama, atau satu pasangan "x, y" per baris. Diperlukan empat titik atau lebih dengan minimal tiga nilai x yang berbeda; semakin banyak semakin baik.
- 2. Pilih modelnya. Centang kurva yang ingin dibandingkan. Model logaritmik dan pangkat memerlukan setiap x di atas 0; model eksponensial dan pangkat memerlukan setiap y di atas 0. Model yang tidak dapat dicocokkan akan menjelaskan alasannya.
- 3. Pilih metode cocokan untuk kurva eksponensial dan pangkat. Kuadrat terkecil non-linear pada y asli memberikan kecocokan terbaik dengan nilai Anda yang sebenarnya. Opsi transformasi mencocokkan garis lurus melalui ln y, seperti yang dilakukan trendline spreadsheet.
- 4. Bandingkan dan periksa. Baca tabelnya, lalu plot dan residual dari model yang sedang Anda pertimbangkan: angka terbaik tidak berarti apa-apa jika bentuk kurvanya salah. Gunakan kotak prediksi untuk nilai x baru.
Kurva-Kurvanya
| Model | Persamaan | Penggunaan umum |
|---|---|---|
| Linear | y = a₀ + a₁x | Perubahan yang stabil |
| Polinomial, derajat d | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | Kurva halus dengan lengkungan; paling banyak d − 1 titik balik |
| Eksponensial | y = a·e^(bx) | Pertumbuhan atau peluruhan dengan persentase konstan |
| Logaritmik | y = a + b·ln x | Perubahan cepat yang kemudian mendatar |
| Pangkat | y = a·x^b | Hukum skala; b adalah elastisitasnya |
Setiap polinomial dicocokkan dengan dekomposisi QR pada x yang dipusatkan dan diskalakan ulang, sehingga cocokan derajat 6 untuk tahun (1990–2020) sama akuratnya dengan cocokan untuk 0–1, dan prediksi memakai bentuk yang stabil itu. Koefisien yang diperluas dan ditampilkan dalam persamaan tetap dapat kehilangan digit akibat pembatalan ketika x besar dan jauh dari nol, dan halaman ini memperingatkan Anda ketika hal itu terjadi. Persamaan trendline spreadsheet, yang membulatkan koefisien menjadi beberapa digit, tidak dapat mereproduksi kurva berderajat tinggi atas nilai x berukuran tahun, karena alasan yang sama.
Mengapa Metode Penting untuk Cocokan Eksponensial dan Pangkat
Cocokan yang ditransformasi mengambil ln y lalu mencari garis lurus kuadrat terkecil, lalu mengonversinya kembali. Cara itu meminimalkan galat pada skala logaritma, yang memberi bobot besar pada nilai kecil dan bobot kecil pada nilai besar. Cocokan non-linear meminimalkan galat kuadrat pada y itu sendiri, yang biasanya memang yang Anda pedulikan. Keduanya memberikan parameter dan nilai R² yang berbeda untuk data yang sama. Kalkulator ini melaporkan R² pada y asli untuk setiap model, sehingga keduanya dapat dibandingkan secara adil, dan, untuk cocokan yang ditransformasi, R² pada skala log yang akan ditampilkan spreadsheet.
Contoh Kasus
Contoh ini memuat 50 pengukuran jarak pengereman mobil yang klasik (data cars dari R): kecepatan dalam mph terhadap jarak henti dalam kaki (feet). Enam model, dicocokkan pada skala asli:
| Model | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| Pangkat: y = 0,5897 x^1,5493 | 0,6654 | 15,06 | 417,59 | 0 |
| Eksponensial: y = 9,4045 e^(0,0917x) | 0,6649 | 15,07 | 417,66 | 0,07 |
| Kuadrat | 0,6673 | 15,18 | 419,66 | 2,07 |
| Linear: y = −17,58 + 3,932x | 0,6511 | 15,38 | 419,68 | 2,09 |
| Kubik | 0,6732 | 15,20 | 421,25 | 3,66 |
| Logaritmik | 0,5607 | 17,26 | 431,19 | 13,61 |
R² terus naik dengan setiap suku polinomial — kubik mendapat 0,6732 dan polinomial derajat 6 mendapat 0,6888 — tetapi AICc, yang membebankan biaya untuk setiap parameter, menempatkan kurva pangkat dan eksponensial yang masing-masing hanya dua parameter di urutan teratas. Kurva pangkat juga memiliki makna yang masuk akal: jarak pengereman tumbuh kira-kira sebagai kecepatan pangkat 1,5 (b = 1,55, SE 0,19), di antara hubungan linear dan kuadrat yang disarankan fisika. Model-model teratas berada dalam sekitar 2 poin AICc satu sama lain, sehingga data tidak dapat memisahkannya; pilihlah yang masuk akal. Jika dicocokkan sebagai kurva pangkat yang ditransformasi, R² pada skala log adalah 0,7331, tetapi R² pada skala asli turun menjadi 0,6583.
Memilih Model dengan Bijak
- Mulai dengan plotnya, lalu residualnya. Pola pada residual berarti bentuknya salah.
- Gunakan AICc, bukan R², untuk membandingkan model dengan jumlah parameter yang berbeda. AICc hanya dapat dibandingkan antara model yang dicocokkan pada nilai y yang sama. Selisih di bawah sekitar 2 tidak bermakna.
- Utamakan teori. Jika Anda mengetahui prosesnya (pertumbuhan majemuk, hukum skala), gunakan model yang sesuai meskipun model lain sedikit lebih baik.
- Jaga derajat polinomial tetap rendah. Di atas derajat 3 atau 4, polinomial biasanya mengejar derau dan berayun liar di luar data. Jangan melakukan ekstrapolasi dengannya.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara memilih kurva yang paling cocok?
- Plot data dan setiap kurva, periksa apakah residualnya tersebar merata di sekitar nol, dan bandingkan AICc antar model. R² saja selalu memilih model dengan parameter terbanyak. Lalu tanyakan apakah pemenangnya masuk akal untuk proses yang Anda teliti dan apakah Anda akan memakainya hanya di antara x terkecil dan terbesar Anda.
- Mengapa R² eksponensial saya berbeda dari Excel?
- Trendline eksponensial Excel mencocokkan garis lurus melalui ln y dan melaporkan R² untuk cocokan skala log itu. Cocokan non-linear dengan kuadrat terkecil meminimalkan galat pada y itu sendiri, dan R²-nya diukur pada y. Kalkulator ini dapat melakukan keduanya, dan menampilkan R² skala log untuk opsi transformasi serta R² skala asli untuk semua model, sehingga perbandingannya adil.
- Derajat polinomial berapa yang sebaiknya saya pakai?
- Pakai derajat terendah yang menangkap bentuk yang Anda lihat, biasanya 2 atau 3. Setiap derajat tambahan membuat kurva melengkung sekali lagi dan mencocokkan derau; R² naik tetapi prediksinya memburuk. Anda memerlukan minimal derajat + 2 titik data, dan jauh lebih banyak untuk cocokan yang andal.
- Mengapa saya tidak dapat mencocokkan model logaritmik, pangkat, atau eksponensial pada data saya?
- Logaritma hanya didefinisikan untuk bilangan positif. Model logaritmik atau pangkat memerlukan setiap x di atas 0, dan model eksponensial atau pangkat memerlukan setiap y di atas 0, karena cocokan bekerja melalui ln y atau ln x. Geser data (misalnya, ukur waktu mulai dari 1 alih-alih 0) hanya jika hal itu bermakna untuk masalah Anda.
- Apa arti AIC dan AICc?
- AIC menyeimbangkan kecocokan dengan kerumitan: nilainya −2 dikali log-likelihood ditambah dua kali jumlah parameter (termasuk varians galat). AICc menambahkan koreksi yang penting ketika n kecil dibandingkan jumlah parameter. Nilai yang lebih rendah lebih baik, dan hanya selisihnya yang penting. Nilai di sini memakai definisi R, sehingga cocok dengan AIC R untuk model yang sama.
- Dapatkah saya memakai persamaan hasil cocokan untuk memprediksi di luar data saya?
- Hanya dengan sangat hati-hati. Setiap kurva di sini adalah deskripsi empiris dari rentang yang Anda ukur. Polinomial dapat berayun liar tepat di luar data, dan eksponensial dapat meledak. Kotak prediksi memperingatkan Anda ketika x baru berada di luar rentang yang diamati.