Calculadora de ajuste de curvas
Pega valores de x e y y ajusta de una vez curvas lineales, polinómicas (grado 2–6), exponenciales, logarítmicas y potenciales. Obtienes cada ecuación con R², R² ajustado, RMSE, AIC y AICc uno al lado del otro, un gráfico con todas las curvas, diagnóstico de residuos, errores estándar de los parámetros y predicciones para nuevos valores de x. Gratis, sin registro; todo se ejecuta en tu navegador.
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Introduce al menos cuatro pares (x, y), con al menos tres valores de x distintos.
Cómo usar la calculadora de ajuste de curvas
- 1. Introduce tus datos. Escribe dos listas en el mismo orden, o un par «x, y» por línea. Se necesitan cuatro puntos o más, con al menos tres valores de x distintos; cuantos más, mejor.
- 2. Elige los modelos. Marca las curvas que quieres comparar. Los modelos logarítmico y potencial exigen que todas las x sean mayores que 0; los modelos exponencial y potencial exigen que todas las y sean mayores que 0. Un modelo que no se puede ajustar indica el motivo.
- 3. Elige el método de ajuste para las curvas exponencial y potencial. Los mínimos cuadrados no lineales sobre la y original dan el mejor ajuste a tus valores reales. La opción transformada ajusta una recta a través de ln y, como hacen las líneas de tendencia de las hojas de cálculo.
- 4. Compara y comprueba. Lee la tabla y después el gráfico y los residuos del modelo que estés considerando: el mejor número significa poco si la forma de la curva es incorrecta. Usa el cuadro de predicción para nuevos valores de x.
Las curvas
| Modelo | Ecuación | Uso típico |
|---|---|---|
| Lineal | y = a₀ + a₁x | Cambio constante |
| Polinomio, grado d | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | Una curva suave con quiebros; como máximo d − 1 puntos de giro |
| Exponencial | y = a·e^(bx) | Crecimiento o descenso a un porcentaje constante |
| Logarítmica | y = a + b·ln x | Cambio rápido que se estabiliza |
| Potencial | y = a·x^b | Leyes de escala; b es la elasticidad |
Cada polinomio se ajusta mediante descomposición QR sobre una x centrada y reescalada, así que un ajuste de grado 6 a años de calendario (1990–2020) es tan preciso como uno de 0 a 1, y las predicciones usan esa forma estable. Los coeficientes desarrollados que aparecen en la ecuación pueden perder cifras por cancelación cuando x es grande y está lejos de cero, y la página avisa cuando ocurre. Por la misma razón, las ecuaciones de línea de tendencia de las hojas de cálculo, que redondean los coeficientes a unas pocas cifras, no reproducen curvas de grado alto sobre valores de x del tamaño de años.
Por qué importa el método en los ajustes exponencial y potencial
Un ajuste transformado toma ln y, calcula la recta de mínimos cuadrados y convierte el resultado de nuevo. Así se minimizan los errores en escala logarítmica, que dan mucho peso a los valores pequeños y poco a los grandes. Un ajuste no lineal minimiza los errores al cuadrado en la propia y, que suele ser lo que te interesa. Los dos dan parámetros y valores de R² distintos para los mismos datos. Esta calculadora informa el R² sobre la y original para todos los modelos, para que se puedan comparar de forma justa, y, en un ajuste transformado, el R² en escala logarítmica que mostraría una hoja de cálculo.
Ejemplo desarrollado
El ejemplo carga las clásicas 50 mediciones de frenado de coches (los datos cars de R): velocidad en mph frente a distancia de frenado en pies. Seis modelos, ajustados sobre la escala original:
| Modelo | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| Potencial: y = 0,5897 x^1,5493 | 0,6654 | 15,06 | 417,59 | 0 |
| Exponencial: y = 9,4045 e^(0,0917x) | 0,6649 | 15,07 | 417,66 | 0,07 |
| Cuadrático | 0,6673 | 15,18 | 419,66 | 2,07 |
| Lineal: y = −17,58 + 3,932x | 0,6511 | 15,38 | 419,68 | 2,09 |
| Cúbico | 0,6732 | 15,20 | 421,25 | 3,66 |
| Logarítmico | 0,5607 | 17,26 | 431,19 | 13,61 |
El R² sube con cada término polinómico —el cúbico obtiene 0,6732 y un polinomio de grado 6, 0,6888—, pero el AICc, que penaliza cada parámetro, sitúa primero las curvas potencial y exponencial, de dos parámetros. La curva potencial también tiene un significado razonable: la distancia de frenado crece aproximadamente como la velocidad elevada a 1,5 (b = 1,55, error estándar 0,19), entre las relaciones lineal y cuadrática que sugiere la física. Los modelos principales están a unos 2 puntos de AICc entre sí, así que los datos no permiten separarlos; prefiere el que tenga sentido. Ajustada como curva potencial transformada, el R² en escala logarítmica es 0,7331, pero el R² en la escala original baja a 0,6583.
Elegir un modelo con criterio
- Empieza por el gráfico y después mira los residuos. Un patrón en los residuos significa que la forma es incorrecta.
- Usa el AICc, no el R², para comparar modelos con distinto número de parámetros. El AICc solo es comparable entre modelos ajustados a los mismos valores de y. Las diferencias menores de unos 2 no son significativas.
- Prefiere la teoría. Si conoces el proceso (crecimiento compuesto, una ley de escala), usa el modelo correspondiente aunque otro obtenga un resultado algo mejor.
- Mantén bajo el grado de los polinomios. Por encima del grado 3 o 4, un polinomio suele perseguir el ruido y se dispara fuera de los datos. No extrapoles con uno.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo elijo la curva que mejor se ajusta?
- Dibuja los datos y cada curva, comprueba que los residuos se reparten de forma uniforme alrededor de cero y compara el AICc entre modelos. El R² por sí solo siempre favorece el modelo con más parámetros. Después pregúntate si el ganador tiene sentido para el proceso que estudias y si lo usarás solo entre tu x más pequeña y tu x más grande.
- ¿Por qué mi R² exponencial es distinto del de Excel?
- La línea de tendencia exponencial de Excel ajusta una recta a través de ln y e informa el R² de ese ajuste en escala logarítmica. Un ajuste no lineal de mínimos cuadrados minimiza los errores en la propia y, y su R² se mide sobre y. Esta calculadora puede hacer cualquiera de los dos: muestra el R² en escala logarítmica para la opción transformada y el R² sobre la escala original para todos los modelos, para que la comparación sea justa.
- ¿Qué grado de polinomio debo usar?
- Usa el grado más bajo que capture la forma que ves, normalmente 2 o 3. Cada grado añadido permite que la curva se doble una vez más y ajuste ruido: el R² sube, pero las predicciones empeoran. Necesitas al menos grado + 2 puntos de datos, y muchos más para un ajuste fiable.
- ¿Por qué no puedo ajustar un modelo logarítmico, potencial o exponencial a mis datos?
- El logaritmo solo está definido para números positivos. Los modelos logarítmico y potencial necesitan que todas las x sean mayores que 0, y los modelos exponencial y potencial necesitan que todas las y sean mayores que 0, porque el ajuste trabaja con ln y o ln x. Desplaza los datos (por ejemplo, medir el tiempo desde 1 en lugar de desde 0) solo si eso tiene sentido en tu problema.
- ¿Qué significan AIC y AICc?
- El AIC equilibra el ajuste con la complejidad: es −2 veces el logaritmo de la verosimilitud más dos veces el número de parámetros (contando la varianza del error). El AICc añade una corrección que importa cuando n es pequeño en relación con el número de parámetros. Un valor más bajo es mejor, y solo importan las diferencias. Los valores aquí usan la definición de R, así que coinciden con el AIC de R para el mismo modelo.
- ¿Puedo usar la ecuación ajustada para predecir fuera de mis datos?
- Solo con mucho cuidado. Cada curva aquí es una descripción empírica del intervalo que mediste. Los polinomios pueden dispararse justo más allá de los datos, y una exponencial puede explotar. El cuadro de predicción avisa cuando la nueva x cae fuera del intervalo observado.