Calculadora de ajuste de curvas
Cole valores de x e y e ajuste de uma vez retas, polinômios (grau 2–6), curvas exponenciais, logarítmicas e de potência. Você obtém cada equação com R², R² ajustado, RMSE, AIC e AICc lado a lado, um gráfico com todas as curvas, diagnósticos de resíduos, erros-padrão dos parâmetros e previsões para novos valores de x. Grátis, sem cadastro; tudo roda no seu navegador.
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Digite pelo menos quatro pares (x, y), com pelo menos três valores de x diferentes.
Como usar a calculadora de ajuste de curvas
- 1. Insira seus dados. Digite duas listas na mesma ordem, ou um par "x, y" por linha. São necessários quatro ou mais pontos com pelo menos três valores de x diferentes; quanto mais, melhor.
- 2. Escolha os modelos. Marque as curvas a comparar. Modelos logarítmicos e de potência precisam que todo x seja maior que 0; modelos exponenciais e de potência precisam que todo y seja maior que 0. Um modelo que não possa ser ajustado informa o motivo.
- 3. Escolha o método de ajuste para as curvas exponencial e de potência. Mínimos quadrados não lineares sobre o y original dá o melhor ajuste aos seus valores reais. A opção transformada ajusta uma reta sobre ln y, como fazem as linhas de tendência de planilhas.
- 4. Compare e confira. Leia a tabela e depois o gráfico e os resíduos do modelo que você está considerando: o melhor número significa pouco se a forma da curva estiver errada. Use a caixa de previsão para novos valores de x.
As curvas
| Modelo | Equação | Uso típico |
|---|---|---|
| Linear | y = a₀ + a₁x | Mudança constante |
| Polinomial, grau d | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | Uma curva suave com curvaturas; no máximo d − 1 pontos de virada |
| Exponencial | y = a·e^(bx) | Crescimento ou decaimento a uma taxa percentual constante |
| Logarítmica | y = a + b·ln x | Mudança rápida que se estabiliza |
| Potência | y = a·x^b | Leis de escala; b é a elasticidade |
Cada polinômio é ajustado por decomposição QR sobre um x centralizado e reescalado, então um ajuste de grau 6 a anos do calendário (1990–2020) é tão preciso quanto um ajuste de 0 a 1, e as previsões usam essa forma estável. Os coeficientes expandidos mostrados na equação ainda podem perder dígitos por cancelamento quando x é grande e distante de zero, e a página avisa quando isso acontece. As equações de linha de tendência de planilhas, que arredondam os coeficientes para poucos dígitos, não reproduzem curvas de grau alto sobre valores de x do tamanho de anos, pelo mesmo motivo.
Por que o método importa nos ajustes exponencial e de potência
Um ajuste transformado toma ln y, encontra a reta de mínimos quadrados e depois converte de volta. Isso minimiza erros na escala logarítmica, que dá peso grande aos valores pequenos e peso leve aos grandes. Um ajuste não linear minimiza os erros quadrados em y, que costuma ser o que realmente interessa. Os dois dão parâmetros e valores de R² diferentes para os mesmos dados. Esta calculadora informa o R² sobre o y original para todos os modelos, para que possam ser comparados de forma justa, e, para um ajuste transformado, o R² na escala logarítmica que uma planilha mostraria.
Exemplo prático
O exemplo carrega as clássicas 50 medições de frenagem de carros (dados cars do R): velocidade em mph contra distância de parada em pés. Seis modelos, ajustados na escala original:
| Modelo | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| Potência: y = 0,5897 x^1,5493 | 0,6654 | 15,06 | 417,59 | 0 |
| Exponencial: y = 9,4045 e^(0,0917x) | 0,6649 | 15,07 | 417,66 | 0,07 |
| Quadrático | 0,6673 | 15,18 | 419,66 | 2,07 |
| Linear: y = −17,58 + 3,932x | 0,6511 | 15,38 | 419,68 | 2,09 |
| Cúbico | 0,6732 | 15,20 | 421,25 | 3,66 |
| Logarítmico | 0,5607 | 17,26 | 431,19 | 13,61 |
O R² sobe a cada termo polinomial — o cúbico marca 0,6732 e um polinômio de grau 6 marca 0,6888 — mas o AICc, que cobra por cada parâmetro, põe em primeiro lugar as curvas de potência e exponencial, que têm dois parâmetros cada. A curva de potência também tem um sentido razoável: a distância de frenagem cresce aproximadamente como a velocidade elevada a 1,5 (b = 1,55, EP 0,19), entre as relações linear e quadrática que a física sugere. Os melhores modelos ficam a cerca de 2 pontos de AICc uns dos outros, então os dados não conseguem separá-los; prefira o que faz mais sentido. Ajustado como curva de potência transformada, o R² na escala logarítmica é 0,7331, mas o R² na escala original cai para 0,6583.
Como escolher um modelo com bom senso
- Comece pelo gráfico, depois pelos resíduos. Um padrão nos resíduos significa que a forma está errada.
- Use o AICc, e não o R², para comparar modelos com números diferentes de parâmetros. O AICc só é comparável entre modelos ajustados aos mesmos valores de y. Diferenças abaixo de cerca de 2 não são significativas.
- Prefira a teoria. Se você conhece o processo (crescimento composto, uma lei de escala), use o modelo correspondente, mesmo que outro marque um pouco melhor.
- Mantenha baixos os graus polinomiais. Acima do grau 3 ou 4, um polinômio costuma perseguir o ruído e oscila muito fora dos dados. Não extrapole com um deles.
Perguntas frequentes
- Como escolho a curva que melhor se ajusta?
- Plote os dados e cada curva, confira se os resíduos se distribuem uniformemente em torno de zero e compare o AICc entre os modelos. O R² sozinho sempre prefere o modelo com mais parâmetros. Depois pergunte se o vencedor faz sentido para o processo que você estuda e se você vai usá-lo apenas entre seu menor e seu maior x.
- Por que meu R² exponencial é diferente do Excel?
- A linha de tendência exponencial do Excel ajusta uma reta a ln y e informa o R² desse ajuste na escala logarítmica. Um ajuste de mínimos quadrados não linear minimiza os erros em y, e o seu R² é medido sobre y. Esta calculadora faz as duas coisas: mostra o R² na escala logarítmica para a opção transformada e o R² na escala original para todos os modelos, para que a comparação seja justa.
- Que grau de polinômio devo usar?
- Use o menor grau que capture a forma que você vê, normalmente 2 ou 3. Cada grau a mais permite que a curva se dobre mais uma vez e ajuste ruído; o R² sobe, mas as previsões pioram. Você precisa de pelo menos grau + 2 pontos de dados, e de muitos mais para um ajuste confiável.
- Por que não consigo ajustar um modelo logarítmico, de potência ou exponencial aos meus dados?
- O logaritmo só é definido para números positivos. Um modelo logarítmico ou de potência precisa que todo x seja maior que 0, e um modelo exponencial ou de potência precisa que todo y seja maior que 0, porque o ajuste trabalha com ln y ou ln x. Desloque os dados (por exemplo, meça o tempo a partir de 1 em vez de 0) apenas se isso fizer sentido para o seu problema.
- O que significam AIC e AICc?
- O AIC equilibra ajuste e complexidade: é −2 vezes o log da verossimilhança mais duas vezes o número de parâmetros (contando a variância do erro). O AICc acrescenta uma correção que importa quando n é pequeno em relação ao número de parâmetros. Menor é melhor, e só as diferenças importam. Os valores aqui usam a definição do R, então coincidem com o AIC do R para o mesmo modelo.
- Posso usar a equação ajustada para prever fora dos meus dados?
- Só com muito cuidado. Cada curva aqui é uma descrição empírica do intervalo que você mediu. Polinômios podem oscilar muito logo além dos dados, e uma exponencial pode disparar. A caixa de previsão avisa quando o novo x está fora do intervalo observado.