곡선 적합 계산기
x와 y 값을 붙여넣으면 선형, 다항식(차수 2~6), 지수, 로그, 거듭제곱 곡선을 한 번에 적합합니다. 각 방정식과 R², 수정 R², RMSE, AIC, AICc가 나란히 나오고, 모든 곡선이 그려진 그래프, 잔차 진단, 모수의 표준오차, 새 x 값에 대한 예측을 제공합니다. 무료이며 회원가입이 필요 없고, 모든 계산은 브라우저에서 이루어집니다.
0 개의 값
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최소 네 개의 (x, y) 쌍을 입력하세요. 서로 다른 x 값이 최소 세 개 있어야 합니다.
곡선 적합 계산기 사용 방법
- 1. 자료를 입력하세요. 순서가 맞는 두 목록을 입력하거나, 한 줄에 "x, y" 쌍 하나씩 입력하세요. 점 네 개 이상과 서로 다른 x 값 세 개 이상이 필요하며, 많을수록 좋습니다.
- 2. 모델을 고르세요. 비교할 곡선을 선택하세요. 로그 모델과 거듭제곱 모델은 모든 x가 0보다 커야 하고, 지수 모델과 거듭제곱 모델은 모든 y가 0보다 커야 합니다. 적합할 수 없는 모델은 그 이유를 알려 줍니다.
- 3. 지수 및 거듭제곱 곡선의 적합 방법을 고르세요. 원래 y에 대한 비선형 최소제곱은 실제 값에 가장 잘 맞는 적합을 줍니다. 변환 옵션은 스프레드시트 추세선처럼 ln y를 통과하는 직선으로 적합합니다.
- 4. 비교하고 확인하세요. 표를 읽은 다음, 고려하는 모델의 그래프와 잔차를 확인하세요. 곡선의 모양이 틀렸다면 가장 좋은 숫자도 의미가 없습니다. 새 x 값은 예측 상자에 입력하세요.
곡선의 종류
| 모델 | 방정식 | 전형적인 용도 |
|---|---|---|
| 선형 | y = a₀ + a₁x | 일정한 변화 |
| 다항식, 차수 d | y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d | 굴곡이 있는 매끄러운 곡선. 최대 d − 1개의 꺾임점 |
| 지수 | y = a·e^(bx) | 일정한 백분율 속도로 증가하거나 감소 |
| 로그 | y = a + b·ln x | 빠르게 변하다가 평탄해짐 |
| 거듭제곱 | y = a·x^b | 척도 법칙. b는 탄력성 |
모든 다항식은 중심화되고 크기가 조정된 x에 대해 QR 분해로 적합하므로, 달력 연도(1990~2020)에 대한 차수 6 적합도 0~1 구간에 대한 적합만큼 정확합니다. 예측도 이 안정적인 형태를 사용합니다. 방정식에 표시되는 전개된 계수는 x가 크고 0에서 멀 때 상쇄 과정에서 자릿수를 잃을 수 있으며, 그럴 때 페이지가 경고합니다. 계수를 몇 자리로 반올림하는 스프레드시트 추세선 방정식은 같은 이유로 연도 단위의 x 값에 대해서는 고차 곡선을 재현할 수 없습니다.
지수 및 거듭제곱 적합에서 방법이 중요한 이유
변환 적합은 ln y를 취해 최소제곱 직선을 찾은 다음 다시 되돌립니다. 이는 로그 척도에서 오차를 최소화하므로, 작은 값에 큰 가중치를 주고 큰 값에는 작은 가중치를 줍니다. 비선형 적합은 y 자체의 제곱오차를 최소화하며, 보통 여러분이 관심 있는 것은 이쪽입니다. 같은 자료라도 두 방법은 서로 다른 모수와 다른 R² 값을 줍니다. 이 계산기는 모든 모델에 대해 원래 y 기준의 R²을 보고하므로 공정하게 비교할 수 있고, 변환 적합에 대해서는 스프레드시트가 보여 주는 로그 척도 R²도 함께 보여 줍니다.
실제 예시
예시는 고전적인 자동차 제동 자료 50개(R의 cars 데이터)를 불러옵니다. 속도(mph)와 정지 거리(피트)입니다. 다음은 원래 척도에서 여섯 모델을 적합한 결과입니다:
| 모델 | R² | RMSE | AICc | Δ AICc |
|---|---|---|---|---|
| 거듭제곱: y = 0.5897 x^1.5493 | 0.6654 | 15.06 | 417.59 | 0 |
| 지수: y = 9.4045 e^(0.0917x) | 0.6649 | 15.07 | 417.66 | 0.07 |
| 이차식 | 0.6673 | 15.18 | 419.66 | 2.07 |
| 선형: y = −17.58 + 3.932x | 0.6511 | 15.38 | 419.68 | 2.09 |
| 삼차식 | 0.6732 | 15.20 | 421.25 | 3.66 |
| 로그 | 0.5607 | 17.26 | 431.19 | 13.61 |
R²은 다항식 항을 하나 더할 때마다 조금씩 올라갑니다. 삼차식은 0.6732이고 차수 6 다항식은 0.6888입니다. 그러나 모수 하나마다 불이익을 주는 AICc는 모수가 두 개뿐인 거듭제곱 곡선과 지수 곡선을 앞에 놓습니다. 거듭제곱 곡선은 의미도 분명합니다. 제동 거리는 대략 속도의 1.5제곱으로 커지는데(b = 1.55, SE 0.19), 이는 물리학이 암시하는 선형 관계와 제곱 관계 사이에 있습니다. 상위 모델들은 AICc 기준으로 약 2 이내에 모여 있으므로 자료만으로는 구분할 수 없습니다. 그러니 말이 되는 모델을 고르세요. 같은 자료를 변환 거듭제곱 곡선으로 적합하면 로그 척도 R²은 0.7331이지만, 원래 척도의 R²은 0.6583으로 떨어집니다.
합리적으로 모델 고르기
- 먼저 그래프를, 그다음 잔차를 보세요. 잔차에 패턴이 있으면 곡선의 모양이 잘못된 것입니다.
- 모수 개수가 다른 모델을 비교할 때는 R²보다 AICc를 쓰세요. AICc는 같은 y 값에 적합한 모델끼리만 비교할 수 있습니다. 약 2 미만의 차이는 의미가 없습니다.
- 이론을 우선하세요. 과정을 알고 있다면(복리 성장, 척도 법칙), 다른 모델이 약간 더 잘 맞더라도 그 과정에 맞는 모델을 쓰세요.
- 다항식 차수는 낮게 유지하세요. 차수 3이나 4를 넘으면 다항식은 보통 잡음을 쫓아가고 자료 밖에서 심하게 흔들립니다. 그 밖으로 외삽하지 마세요.
자주 묻는 질문
- 가장 잘 맞는 곡선은 어떻게 고르나요?
- 자료와 각 곡선을 그리고, 잔차가 0 주변에 고르게 흩어져 있는지 확인한 다음, 모델들의 AICc를 비교하세요. R²만 보면 모수가 가장 많은 모델을 항상 선호합니다. 그다음에는 승자가 연구하는 과정에 비추어 말이 되는지, 그리고 가장 작은 x부터 가장 큰 x 사이에서만 쓸 것인지 생각해 보세요.
- Excel의 지수 R²과 왜 다른가요?
- Excel의 지수 추세선은 ln y를 통과하는 직선으로 적합하고, 그 로그 척도 적합에 대해 R²을 보고합니다. 비선형 최소제곱 적합은 y 자체의 오차를 최소화하며, 그 R²은 y에서 측정됩니다. 이 계산기는 두 방식을 모두 할 수 있으며, 변환 옵션에는 로그 척도 R²을, 모든 모델에는 원래 y 기준 R²을 보여 주어 비교가 공정하도록 합니다.
- 다항식은 몇 차로 해야 하나요?
- 보이는 모양을 담는 가장 낮은 차수를 쓰세요. 보통 2 또는 3입니다. 차수를 하나 올릴 때마다 곡선이 한 번 더 휘어 잡음을 맞추게 됩니다. R²은 올라가지만 예측은 나빠집니다. 최소 (차수 + 2)개의 자료 점이 필요하고, 믿을 만한 적합을 위해서는 훨씬 더 많이 필요합니다.
- 왜 내 자료에 로그, 거듭제곱, 지수 모델을 맞출 수 없나요?
- 로그는 양수에 대해서만 정의됩니다. 로그 모델과 거듭제곱 모델은 모든 x가 0보다 커야 하고, 지수 모델과 거듭제곱 모델은 모든 y가 0보다 커야 합니다. 적합이 ln y 또는 ln x를 거치기 때문입니다. 그 이동이 문제에 의미가 있을 때만 자료를 옮기세요(예: 시간을 0이 아니라 1부터 잰다).
- AIC와 AICc는 무엇을 뜻하나요?
- AIC는 적합도와 복잡도를 함께 따집니다. 로그우도에 −2를 곱한 값에 모수 개수의 두 배(오차 분산을 포함해서 셉니다)를 더한 값입니다. AICc는 n이 모수 개수에 비해 작을 때 중요한 보정을 더합니다. 낮을수록 좋고, 중요한 것은 차이입니다. 여기 값은 R의 정의를 따르므로 같은 모델에 대해 R의 AIC와 일치합니다.
- 적합된 방정식으로 자료 밖을 예측할 수 있나요?
- 매우 조심해서만 가능합니다. 여기 있는 모든 곡선은 측정한 범위에 대한 경험적 기술입니다. 다항식은 자료 바로 밖에서 심하게 흔들릴 수 있고, 지수는 폭발할 수 있습니다. 예측 상자는 새 x가 관측 범위 밖에 있으면 경고합니다.