Wie wähle ich die am besten passende Kurve?

Zeichnen Sie die Daten und jede Kurve, prüfen Sie, ob die Residuen gleichmäßig um null streuen, und vergleichen Sie den AICc über alle Modelle. R² allein bevorzugt immer das Modell mit den meisten Parametern. Fragen Sie danach, ob der Sieger für den untersuchten Prozess sinnvoll ist und ob Sie ihn nur zwischen Ihrem kleinsten und größten x verwenden werden.

Warum weicht mein Exponential-R² von dem in Excel ab?

Die Exponential-Trendlinie von Excel passt eine Gerade durch ln y an und gibt das R² für diese Anpassung auf der Log-Skala an. Eine nichtlineare Anpassung der kleinsten Quadrate minimiert die Fehler in y selbst, und ihr R² wird auf y gemessen. Dieser Rechner kann beides: Er zeigt für die transformierte Option das R² auf der Log-Skala und für alle Modelle das R² auf der ursprünglichen Skala, damit der Vergleich fair ist.

Welchen Grad sollte mein Polynom haben?

Verwenden Sie den niedrigsten Grad, der die Form erfasst, die Sie sehen, meist 2 oder 3. Jeder zusätzliche Grad lässt die Kurve einmal mehr krümmen und Rauschen anpassen. Das R² steigt, die Vorhersagen werden schlechter. Sie brauchen mindestens Grad + 2 Datenpunkte und für eine verlässliche Anpassung deutlich mehr.

Warum kann ich kein logarithmisches, Potenz- oder Exponentialmodell an meine Daten anpassen?

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Ein logarithmisches oder Potenzmodell braucht für jedes x einen Wert über 0, und ein Exponential- oder Potenzmodell braucht für jedes y einen Wert über 0, weil die Anpassung über ln y oder ln x läuft. Verschieben Sie die Daten (etwa die Zeit ab 1 statt ab 0) nur dann, wenn das für Ihr Problem sinnvoll ist.

Was bedeuten AIC und AICc?

Der AIC wägt Anpassungsgüte gegen Komplexität ab: Er ist −2 mal die Log-Likelihood plus zweimal die Anzahl der Parameter (einschließlich der Fehlervarianz). Der AICc fügt eine Korrektur hinzu, die wichtig ist, wenn n im Verhältnis zur Parameterzahl klein ist. Niedriger ist besser, und nur Unterschiede zählen. Die Werte folgen der Definition von R, sodass sie mit dem AIC von R für dasselbe Modell übereinstimmen.

Kann ich die angepasste Gleichung zur Vorhersage außerhalb meiner Daten nutzen?

Nur mit großer Vorsicht. Jede Kurve hier ist eine empirische Beschreibung des gemessenen Bereichs. Polynome können knapp hinter den Daten stark ausschwingen, und eine Exponentialfunktion kann explodieren. Das Vorhersagefeld warnt Sie, wenn das neue x außerhalb des beobachteten Bereichs liegt.

Kurvenanpassungs-Rechner

Fügen Sie x- und y-Werte ein und passen Sie in einem Schritt lineare, polynomiale (Grad 2–6), exponentielle, logarithmische und Potenzkurven an. Sie erhalten jede Gleichung mit R², korrigiertem R², RMSE, AIC und AICc nebeneinander, dazu einen Plot mit allen Kurven, Residuendiagnosen, Standardfehler der Parameter und Vorhersagen für neue x-Werte. Kostenlos, ohne Anmeldung; alles läuft in Ihrem Browser.

Geben Sie mindestens vier (x, y)-Paare mit mindestens drei verschiedenen x-Werten ein.

So verwenden Sie den Kurvenanpassungs-Rechner

1. Daten eingeben. Geben Sie zwei Listen in gleicher Reihenfolge ein oder ein Paar „x, y“ pro Zeile. Benötigt werden vier oder mehr Punkte mit mindestens drei verschiedenen x-Werten; mehr ist besser.
2. Modelle wählen. Haken Sie die Kurven an, die Sie vergleichen möchten. Logarithmische und Potenzmodelle brauchen für jedes x einen Wert über 0; Exponential- und Potenzmodelle brauchen für jedes y einen Wert über 0. Ein Modell, das sich nicht anpassen lässt, nennt den Grund.
3. Anpassungsmethode für Exponential- und Potenzkurven wählen. Die nichtlineare Methode der kleinsten Quadrate auf die ursprünglichen y-Werte liefert die beste Anpassung an Ihre tatsächlichen Werte. Die transformierte Option passt eine Gerade durch ln y an, wie es Trendlinien in Tabellenkalkulationen tun.
4. Vergleichen und prüfen. Lesen Sie die Tabelle und danach den Plot und die Residuen des Modells, das Sie in Betracht ziehen. Eine gute Zahl bedeutet wenig, wenn die Form der Kurve falsch ist. Verwenden Sie das Vorhersagefeld für neue x-Werte.

Die Kurven

Modell	Gleichung	Typische Verwendung
Linear	y = a₀ + a₁x	Gleichmäßige Veränderung
Polynom vom Grad d	y = a₀ + a₁x + … + a_dx^d	Eine glatte Kurve mit Krümmungen; höchstens d − 1 Extrempunkte
Exponential	y = a·e^(bx)	Wachstum oder Zerfall mit konstanter prozentualer Rate
Logarithmisch	y = a + b·ln x	Schnelle Veränderung, die abflacht
Potenz	y = a·x^b	Skalengesetze; b ist die Elastizität

Jedes Polynom wird per QR-Zerlegung auf einem zentrierten, neu skalierten x angepasst. Daher ist ein Polynom vom Grad 6 an Kalenderjahre (1990–2020) genauso genau wie eines für 0 bis 1, und Vorhersagen nutzen diese stabile Form. Die ausgeschriebenen Koeffizienten in der Gleichung können bei großen x-Werten, die weit von null entfernt liegen, trotzdem Stellen durch Auslöschung verlieren; die Seite warnt Sie, wenn das passiert. Gleichungen aus Trendlinien in Tabellenkalkulationen, die Koeffizienten auf wenige Stellen runden, können aus demselben Grund keine Polynome hohen Grades über jahresgroße x-Werte reproduzieren.

Warum die Methode bei Exponential- und Potenzanpassungen zählt

Eine transformierte Anpassung nimmt ln y, findet die Gerade der kleinsten Quadrate und rechnet dann zurück. Das minimiert Fehler auf der Log-Skala, wodurch kleine Werte stark und große Werte schwach gewichtet werden. Eine nichtlineare Anpassung minimiert die quadrierten Fehler in y selbst, was meist das ist, was Sie interessiert. Beide liefern für dieselben Daten unterschiedliche Parameter und unterschiedliche R²-Werte. Dieser Rechner gibt das R² für jedes Modell auf den ursprünglichen y-Werten an, damit die Modelle fair verglichen werden können. Bei einer transformierten Anpassung zeigt er zusätzlich das R² auf der Log-Skala, wie es eine Tabellenkalkulation ausgeben würde.

Beispiel

Das Beispiel lädt die klassischen 50 Bremsmessungen an Autos (der Datensatz „cars“ aus R): Geschwindigkeit in mph gegen Bremsweg in Fuß. Sechs Modelle, auf der ursprünglichen Skala angepasst:

Modell	R²	RMSE	AICc	Δ AICc
Potenz: y = 0,5897 x^1,5493	0,6654	15,06	417,59	0
Exponential: y = 9,4045 e^(0,0917x)	0,6649	15,07	417,66	0,07
Quadratisch	0,6673	15,18	419,66	2,07
Linear: y = −17,58 + 3,932x	0,6511	15,38	419,68	2,09
Kubisch	0,6732	15,20	421,25	3,66
Logarithmisch	0,5607	17,26	431,19	13,61

R² steigt mit jedem Polynomglied: Die Kubische erreicht 0,6732 und ein Polynom vom Grad 6 0,6888. Der AICc dagegen, der jeden Parameter bestraft, reiht die beiden Modelle mit nur zwei Parametern, die Potenz- und die Exponentialkurve, vorn ein. Die Potenzkurve hat außerdem eine sinnvolle Deutung: Der Bremsweg wächst ungefähr mit der Geschwindigkeit hoch 1,5 (b = 1,55, SE 0,19), also zwischen dem linearen und dem quadratischen Zusammenhang, den die Physik nahelegt. Die besten Modelle liegen innerhalb von etwa 2 AICc-Punkten beieinander. Die Daten können sie nicht trennen, also wählen Sie das, was Sinn ergibt. Wird stattdessen eine transformierte Potenzkurve angepasst, beträgt das R² auf der Log-Skala 0,7331, während es auf der ursprünglichen Skala auf 0,6583 sinkt.

Ein Modell sinnvoll wählen

Beginnen Sie mit dem Plot, dann mit den Residuen. Ein Muster in den Residuen bedeutet, dass die Form falsch ist.
Vergleichen Sie Modelle mit unterschiedlicher Parameterzahl über den AICc statt über das R². Der AICc ist nur zwischen Modellen vergleichbar, die an dieselben y-Werte angepasst wurden. Unterschiede unter etwa 2 sind nicht aussagekräftig.
Bevorzugen Sie die Theorie. Wenn Sie den Prozess kennen (Zinseszinswachstum, ein Skalengesetz), verwenden Sie das passende Modell, auch wenn ein anderes geringfügig besser abschneidet.
Halten Sie den Polynomgrad niedrig. Jenseits von Grad 3 oder 4 jagt ein Polynom meist dem Rauschen nach und schwingt außerhalb der Daten stark aus. Extrapolieren Sie damit nicht.

Häufig gestellte Fragen

Wie wähle ich die am besten passende Kurve?: Zeichnen Sie die Daten und jede Kurve, prüfen Sie, ob die Residuen gleichmäßig um null streuen, und vergleichen Sie den AICc über alle Modelle. R² allein bevorzugt immer das Modell mit den meisten Parametern. Fragen Sie danach, ob der Sieger für den untersuchten Prozess sinnvoll ist und ob Sie ihn nur zwischen Ihrem kleinsten und größten x verwenden werden.
Warum weicht mein Exponential-R² von dem in Excel ab?: Die Exponential-Trendlinie von Excel passt eine Gerade durch ln y an und gibt das R² für diese Anpassung auf der Log-Skala an. Eine nichtlineare Anpassung der kleinsten Quadrate minimiert die Fehler in y selbst, und ihr R² wird auf y gemessen. Dieser Rechner kann beides: Er zeigt für die transformierte Option das R² auf der Log-Skala und für alle Modelle das R² auf der ursprünglichen Skala, damit der Vergleich fair ist.
Welchen Grad sollte mein Polynom haben?: Verwenden Sie den niedrigsten Grad, der die Form erfasst, die Sie sehen, meist 2 oder 3. Jeder zusätzliche Grad lässt die Kurve einmal mehr krümmen und Rauschen anpassen. Das R² steigt, die Vorhersagen werden schlechter. Sie brauchen mindestens Grad + 2 Datenpunkte und für eine verlässliche Anpassung deutlich mehr.
Warum kann ich kein logarithmisches, Potenz- oder Exponentialmodell an meine Daten anpassen?: Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Ein logarithmisches oder Potenzmodell braucht für jedes x einen Wert über 0, und ein Exponential- oder Potenzmodell braucht für jedes y einen Wert über 0, weil die Anpassung über ln y oder ln x läuft. Verschieben Sie die Daten (etwa die Zeit ab 1 statt ab 0) nur dann, wenn das für Ihr Problem sinnvoll ist.
Was bedeuten AIC und AICc?: Der AIC wägt Anpassungsgüte gegen Komplexität ab: Er ist −2 mal die Log-Likelihood plus zweimal die Anzahl der Parameter (einschließlich der Fehlervarianz). Der AICc fügt eine Korrektur hinzu, die wichtig ist, wenn n im Verhältnis zur Parameterzahl klein ist. Niedriger ist besser, und nur Unterschiede zählen. Die Werte folgen der Definition von R, sodass sie mit dem AIC von R für dasselbe Modell übereinstimmen.
Kann ich die angepasste Gleichung zur Vorhersage außerhalb meiner Daten nutzen?: Nur mit großer Vorsicht. Jede Kurve hier ist eine empirische Beschreibung des gemessenen Bereichs. Polynome können knapp hinter den Daten stark ausschwingen, und eine Exponentialfunktion kann explodieren. Das Vorhersagefeld warnt Sie, wenn das neue x außerhalb des beobachteten Bereichs liegt.