Calcolatore del rendimento delle obbligazioni
Inserisci le date di regolamento e di scadenza di un'obbligazione, il tasso e la frequenza della cedola, poi indica un rendimento per ottenere il prezzo oppure un prezzo per ottenere il rendimento alla scadenza. Ottieni anche interesse maturato, rendimento corrente, durata di Macaulay e durata modificata, una tabella di scenari per le variazioni dei rendimenti e ogni flusso di cassa. Il calcolo segue le funzioni PRICE, YIELD e DURATION di Excel. Gratuito, senza registrazione.
L'obbligazione
I prezzi sono quotati ogni 100 di valore nominale e sono secchi (senza interesse maturato), come li restituiscono PRICE e YIELD di Excel. La base di conteggio stabilisce come si contano i giorni maturati e il periodo cedolare, come in Excel.
Risultati
94,6344
Prezzo secco ogni 100
6,5%
Rendimento alla scadenza
6,076%
Rendimento corrente
7,4165
Durata di Macaulay (anni)
7,183
Durata modificata
96,0719
Prezzo pieno (fattura) ogni 100
Il rendimento corrente è la cedola annua divisa per il prezzo secco. Il prezzo pieno è il prezzo secco più l'interesse maturato.
Per un valore nominale di 1000,00 USD
| Voce | Importo |
|---|---|
| Prezzo secco | 946,34 USD |
| Interesse maturato | 14,38 USD |
| Importo di fattura (secco + maturato) | 960,72 USD |
| Cedola a ogni data di pagamento | 28,75 USD |
Il procedimento
Cedole ancora da pagare: 20. Il periodo della cedola va da 15 nov 2007 a 15 mag 2008: A = 90 giorni maturati, E = 180 giorni nel periodo, DSC = 90 giorni alla cedola successiva.
Interesse maturato = cedola × A ÷ E = 2,875 × 90 ÷ 180 = 1,4375 ogni 100
Prezzo secco = valore attuale di tutti i flussi − interesse maturato = 96,0719 − 1,4375 = 94,6344
Se il rendimento cambia
| Variazione (punti percentuali) | Nuovo rendimento | Nuovo prezzo secco | Variazione di prezzo | Stima dalla durata modificata |
|---|---|---|---|---|
| −2 | 4,5% | 109,77 | 15,99% | 14,37% |
| −1 | 5,5% | 101,858 | 7,63% | 7,18% |
| +1 | 7,5% | 88,035 | -6,97% | -7,18% |
| +2 | 8,5% | 82,001 | -13,35% | -14,37% |
Flussi di cassa ogni 100 di valore nominale
| Cedola | Data | Flusso di cassa | Anni dal regolamento | Valore attuale | Anni × valore attuale |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 15 mag 2008 | 2,875 | 0,25 | 2,8294 | 0,7073 |
| 2 | 15 nov 2008 | 2,875 | 0,75 | 2,7403 | 2,0552 |
| 3 | 15 mag 2009 | 2,875 | 1,25 | 2,6541 | 3,3176 |
| 4 | 15 nov 2009 | 2,875 | 1,75 | 2,5705 | 4,4984 |
| 5 | 15 mag 2010 | 2,875 | 2,25 | 2,4896 | 5,6016 |
| 6 | 15 nov 2010 | 2,875 | 2,75 | 2,4113 | 6,6309 |
| 7 | 15 mag 2011 | 2,875 | 3,25 | 2,3354 | 7,5899 |
| 8 | 15 nov 2011 | 2,875 | 3,75 | 2,2618 | 8,4819 |
| 9 | 15 mag 2012 | 2,875 | 4,25 | 2,1906 | 9,3102 |
| 10 | 15 nov 2012 | 2,875 | 4,75 | 2,1217 | 10,078 |
| 11 | 15 mag 2013 | 2,875 | 5,25 | 2,0549 | 10,7883 |
| 12 | 15 nov 2013 | 2,875 | 5,75 | 1,9902 | 11,4438 |
| 13 | 15 mag 2014 | 2,875 | 6,25 | 1,9276 | 12,0474 |
| 14 | 15 nov 2014 | 2,875 | 6,75 | 1,8669 | 12,6016 |
| 15 | 15 mag 2015 | 2,875 | 7,25 | 1,8081 | 13,109 |
| 16 | 15 nov 2015 | 2,875 | 7,75 | 1,7512 | 13,572 |
| 17 | 15 mag 2016 | 2,875 | 8,25 | 1,6961 | 13,9928 |
| 18 | 15 nov 2016 | 2,875 | 8,75 | 1,6427 | 14,3737 |
| 19 | 15 mag 2017 | 2,875 | 9,25 | 1,591 | 14,7168 |
| 20 | 15 nov 2017 | 102,875 | 9,75 | 55,1383 | 537,5988 |
Come usare il calcolatore del rendimento delle obbligazioni
- 1. Scegli cosa calcolare. Il prezzo da un rendimento che ipotizzi, o il rendimento alla scadenza da un prezzo che osservi.
- 2. Inserisci le date. Il regolamento è il giorno in cui l'acquisto si perfeziona; la scadenza è il giorno in cui l'obbligazione viene rimborsata. L'interesse maturato e il primo periodo cedolare si misurano a partire dal regolamento.
- 3. Inserisci le condizioni. Il tasso cedolare annuo, la frequenza delle cedole (annuale, semestrale o trimestrale) e il valore di rimborso ogni 100 di valore nominale, di norma 100. Aggiungi il valore nominale che detieni per vedere gli importi in denaro.
- 4. Scegli la base di conteggio dei giorni. 30/360 (USA), effettivo/effettivo, effettivo/360, effettivo/365 o 30/360 europeo, numerate da 0 a 4 come in Excel. Le obbligazioni societarie di solito usano il 30/360; i titoli di Stato USA usano l'effettivo/effettivo.
- 5. Leggi i risultati. Prezzo secco e pieno, rendimento alla scadenza, rendimento corrente, durata di Macaulay e modificata, una tabella di come cambia il prezzo se i rendimenti si muovono, e la tabella completa dei flussi di cassa.
Come si calcola il prezzo di un'obbligazione
Un'obbligazione è un flusso di cassa: una cedola per ogni periodo e il valore di rimborso alla scadenza. Il suo prezzo è il valore attuale di questo flusso, scontato al rendimento alla scadenza (YTM) diviso per la frequenza cedolare f. Con N cedole ancora da pagare, una cedola c = 100 × tasso ÷ f, e la frazione del periodo cedolare corrente ancora da trascorrere, DSC ÷ E, il prezzo pieno è la somma di c ÷ (1 + y/f)k−1+DSC/E per k da 1 a N, più il rimborso ÷ (1 + y/f)N−1+DSC/E. Sottraendo l'interesse maturato, c × A ÷ E, si ottiene il prezzo secco. Quando resta una sola cedola, Excel passa all'interesse semplice sull'ultimo periodo, e così fa questo calcolatore.
- Prezzo secco è il prezzo quotato, senza interesse maturato. La funzione PRICE di Excel restituisce questo valore.
- Interesse maturato è la parte della cedola successiva che il venditore ha già guadagnato dall'ultima data di pagamento: c × A ÷ E, con A i giorni maturati ed E i giorni del periodo cedolare.
- Prezzo pieno (fattura) è il prezzo secco più l'interesse maturato: ciò che l'acquirente paga effettivamente ogni 100 di valore nominale.
- Rendimento alla scadenza è l'unico tasso annuo che attualizza tutti i flussi al prezzo pieno. È un tasso nominale composto f volte l'anno, il che spiega perché è quotato come «equivalente obbligazionario». Il calcolatore lo trova con il metodo di bisezione, quindi è esatto dove la funzione YIELD di Excel itera fino a circa sette decimali.
- Rendimento corrente è la cedola annua divisa per il prezzo secco. Ignora qualsiasi guadagno o perdita alla scadenza.
Durata: quanto è sensibile il prezzo
La durata di Macaulay è il tempo medio ponderato con il valore attuale dei flussi dell'obbligazione, in anni: Σ t × VA ÷ Σ VA. La durata modificata, durata di Macaulay ÷ (1 + y/f), stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: ΔP ÷ P ≈ −durata modificata × Δy. La tabella del calcolatore confronta questa stima con il ricalcolo esatto; la differenza è la convessità, che cresce con l'ampiezza della variazione del rendimento. La durata di Macaulay di un'obbligazione zero coupon è uguale alla sua scadenza, e una cedola più alta riduce la durata.
Esempio svolto
È l'esempio della documentazione Microsoft per la funzione PRICE di Excel: regolamento 15 febbraio 2008, scadenza 15 novembre 2017, cedola semestrale del 5,75%, rendimento del 6,5%, rimborso 100, base 30/360. Il regolamento cade esattamente a metà di un periodo cedolare (A = 90, E = 180, DSC = 90) con 20 cedole ancora da pagare, quindi l'interesse maturato è 2,875 × 90 ÷ 180 = 1,4375. Il prezzo secco è 94,6344 e il prezzo pieno è 96,0719. Il rendimento corrente è 5,75 ÷ 94,6344 = 6,076%, sopra il tasso cedolare perché l'obbligazione quota sotto la pari. La durata di Macaulay è 7,4165 anni e la durata modificata 7,1830.
Se il rendimento sale di un punto percentuale, al 7,5%, il prezzo secco scende a 88,035, con un calo del 6,97%; la durata modificata prevedeva −7,18%. Se scende al 5,5%, il prezzo sale a 101,858, con un aumento del 7,63% contro una previsione del 7,18%. Il prezzo sale più di quanto scende: questa asimmetria è la convessità. Inserendo invece un prezzo di 90, il rendimento alla scadenza è 7,1928%.
| Base | Giorni maturati A | Giorni nel periodo E | Interesse maturato | Prezzo secco |
|---|---|---|---|---|
| 0 — 30/360 USA | 90 | 180 | 1,4375 | 94,6344 |
| 1 — effettivo/effettivo | 92 | 182 | 1,4533 | 94,6354 |
| 2 — effettivo/360 | 92 | 180 | 1,4694 | 94,6024 |
| 3 — effettivo/365 | 92 | 182,5 | 1,4493 | 94,6436 |
| 4 — 30/360 europeo | 90 | 180 | 1,4375 | 94,6344 |
Confronto con Excel
Il calcolatore riproduce gli esempi della documentazione Microsoft per PRICE (94,63436162), YIELD (6,5% per un prezzo di 95,04287), DURATION (10,9191453 per un'obbligazione a 30 anni all'8% con rendimento del 9%, effettivo/effettivo) e MDURATION (5,73567). Non modella obbligazioni rimborsabili anticipatamente, obbligazioni a tasso variabile, cedole iniziali o finali irregolari, tasse o rischio di credito. È uno strumento didattico, non una consulenza di investimento.
Domande frequenti
- Che cos'è il rendimento alla scadenza?
- È il tasso annuo di rendimento che otterresti comprando l'obbligazione al prezzo attuale, tenendola fino alla scadenza e ricevendo tutte le cedole e il rimborso nelle date previste. Matematicamente è il tasso di sconto che rende il valore attuale di quei flussi uguale al prezzo che paghi (interesse maturato incluso).
- Perché il prezzo di un'obbligazione scende quando i rendimenti salgono?
- Perché le cedole fisse e il rimborso valgono meno se scontati a un tasso più alto. Un'obbligazione che paga il 5,75% è meno attraente quando le nuove obbligazioni rendono il 7,5%, quindi il suo prezzo deve scendere finché il suo rendimento non si allinea. Più l'obbligazione è lunga e più la cedola è bassa, più grande è la caduta.
- Qual è la differenza tra prezzo secco e prezzo pieno?
- Il prezzo secco esclude l'interesse maturato ed è quello quotato sul mercato; il prezzo pieno lo include ed è quello che l'acquirente paga al regolamento. Tra una data cedolare e l'altra il prezzo pieno sale in modo continuo man mano che l'interesse matura, mentre il prezzo secco non salta quando una cedola viene pagata.
- Qual è la differenza tra rendimento alla scadenza e rendimento corrente?
- Il rendimento corrente è soltanto la cedola annua divisa per il prezzo. Il rendimento alla scadenza considera anche il guadagno se compri sotto la pari (o la perdita se compri sopra la pari) man mano che il prezzo converge al rimborso, e il valore temporale di ogni flusso. Per un'obbligazione acquistata alla pari i due coincidono.
- Che cosa ci dice la durata?
- La durata di Macaulay è il tempo medio ponderato, in anni, prima di ricevere i flussi dell'obbligazione. La durata modificata la trasforma in sensibilità del prezzo: una durata modificata di 7,18 significa circa il 7,18% di variazione del prezzo per ogni punto percentuale di variazione del rendimento, in direzione opposta.
- Quale base di conteggio dei giorni devo usare?
- Usa la convenzione indicata nelle condizioni dell'obbligazione. Le obbligazioni societarie e municipali USA di solito usano il 30/360, i Treasury note e bond USA usano l'effettivo/effettivo, e molti strumenti del mercato monetario usano l'effettivo/360. Le differenze sono piccole, come mostra la tabella, ma contano per l'interesse maturato e per riprodurre esattamente una quotazione.