Calculadora de rendimento de títulos
Insira as datas de liquidação e de vencimento, a taxa do cupom e a frequência, e então informe um rendimento para obter o preço ou um preço para obter o rendimento até o vencimento. Você também recebe os juros acumulados, o rendimento corrente, a duration de Macaulay e a modificada, uma tabela do que acontece com o preço se os rendimentos mudarem e todos os fluxos de caixa. Os cálculos seguem as funções PRICE, YIELD e DURATION do Excel. Gratuito, sem cadastro.
O título
Os preços são cotados por 100 de valor de face e são limpos (sem juros acumulados), como o Excel retorna em PRICE e YIELD. A base de contagem define como os dias acumulados e o período de cupom são contados, como no Excel.
Resultados
94,6344
Preço limpo por 100
6,5%
Rendimento até o vencimento
6,076%
Rendimento corrente
7,4165
Duration de Macaulay (anos)
7,183
Duration modificada
96,0719
Preço sujo (de fatura) por 100
O rendimento corrente é o cupom anual dividido pelo preço limpo. O preço sujo é o preço limpo mais os juros acumulados.
Para um valor de face de US$ 1.000,00
| Item | Valor |
|---|---|
| Preço limpo | US$ 946,34 |
| Juros acumulados | US$ 14,38 |
| Valor da fatura (limpo + acumulados) | US$ 960,72 |
| Cupom a cada data de pagamento | US$ 28,75 |
Os cálculos
Cupons restantes: 20. O período de cupom vai de 15 de nov. de 2007 a 15 de mai. de 2008: A = 90 dias acumulados, E = 180 dias no período, DSC = 90 dias até o próximo cupom.
Juros acumulados = cupom × A ÷ E = 2,875 × 90 ÷ 180 = 1,4375 por 100
Preço limpo = valor presente de todos os fluxos de caixa − juros acumulados = 96,0719 − 1,4375 = 94,6344
Se o rendimento mudar
| Variação (pontos percentuais) | Novo rendimento | Novo preço limpo | Variação do preço | Estimativa pela duration modificada |
|---|---|---|---|---|
| −2 | 4,5% | 109,77 | 15,99% | 14,37% |
| −1 | 5,5% | 101,858 | 7,63% | 7,18% |
| +1 | 7,5% | 88,035 | -6,97% | -7,18% |
| +2 | 8,5% | 82,001 | -13,35% | -14,37% |
Fluxos de caixa por 100 de valor de face
| Cupom | Data | Fluxo de caixa | Anos desde a liquidação | Valor presente | Anos × valor presente |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 15 de mai. de 2008 | 2,875 | 0,25 | 2,8294 | 0,7073 |
| 2 | 15 de nov. de 2008 | 2,875 | 0,75 | 2,7403 | 2,0552 |
| 3 | 15 de mai. de 2009 | 2,875 | 1,25 | 2,6541 | 3,3176 |
| 4 | 15 de nov. de 2009 | 2,875 | 1,75 | 2,5705 | 4,4984 |
| 5 | 15 de mai. de 2010 | 2,875 | 2,25 | 2,4896 | 5,6016 |
| 6 | 15 de nov. de 2010 | 2,875 | 2,75 | 2,4113 | 6,6309 |
| 7 | 15 de mai. de 2011 | 2,875 | 3,25 | 2,3354 | 7,5899 |
| 8 | 15 de nov. de 2011 | 2,875 | 3,75 | 2,2618 | 8,4819 |
| 9 | 15 de mai. de 2012 | 2,875 | 4,25 | 2,1906 | 9,3102 |
| 10 | 15 de nov. de 2012 | 2,875 | 4,75 | 2,1217 | 10,078 |
| 11 | 15 de mai. de 2013 | 2,875 | 5,25 | 2,0549 | 10,7883 |
| 12 | 15 de nov. de 2013 | 2,875 | 5,75 | 1,9902 | 11,4438 |
| 13 | 15 de mai. de 2014 | 2,875 | 6,25 | 1,9276 | 12,0474 |
| 14 | 15 de nov. de 2014 | 2,875 | 6,75 | 1,8669 | 12,6016 |
| 15 | 15 de mai. de 2015 | 2,875 | 7,25 | 1,8081 | 13,109 |
| 16 | 15 de nov. de 2015 | 2,875 | 7,75 | 1,7512 | 13,572 |
| 17 | 15 de mai. de 2016 | 2,875 | 8,25 | 1,6961 | 13,9928 |
| 18 | 15 de nov. de 2016 | 2,875 | 8,75 | 1,6427 | 14,3737 |
| 19 | 15 de mai. de 2017 | 2,875 | 9,25 | 1,591 | 14,7168 |
| 20 | 15 de nov. de 2017 | 102,875 | 9,75 | 55,1383 | 537,5988 |
Como usar a calculadora de rendimento de títulos
- 1. Escolha o que calcular. Preço a partir de um rendimento que você supõe, ou rendimento até o vencimento a partir de um preço observado.
- 2. Insira as datas. A liquidação é o dia em que a compra é liquidada; o vencimento é o dia em que o título é resgatado. Os juros acumulados e o primeiro período de cupom são medidos a partir da liquidação.
- 3. Insira as condições. A taxa anual do cupom, a frequência dos cupons (anual, semestral ou trimestral) e o valor de resgate por 100 de valor de face, normalmente 100. Acrescente o valor de face que você possui para ver os montantes em dinheiro.
- 4. Escolha a base de contagem de dias. 30/360 (EUA), real/real, real/360, real/365 ou 30/360 europeia, numeradas de 0 a 4 como no Excel. Títulos corporativos costumam usar 30/360; os títulos do Tesouro dos EUA usam real/real.
- 5. Leia os resultados. Preço limpo e preço sujo, rendimento até o vencimento, rendimento corrente, duration de Macaulay e modificada, uma tabela do que acontece com o preço se os rendimentos mudarem, e a tabela completa de fluxos de caixa.
Como um título é precificado
Um título é uma sequência de fluxos de caixa: um cupom a cada período e o valor de resgate no vencimento. Seu preço é o valor presente dessa sequência, descontada pelo rendimento até o vencimento (YTM) dividido pela frequência de cupons f. Com N cupons restantes, um cupom c = 100 × taxa ÷ f, e a fração do período de cupom atual que ainda falta, DSC ÷ E, o preço sujo é a soma de c ÷ (1 + y/f)k−1+DSC/E para k de 1 a N, mais o resgate ÷ (1 + y/f)N−1+DSC/E. Subtraindo os juros acumulados, c × A ÷ E, obtém-se o preço limpo. Quando resta apenas um cupom, o Excel passa a usar juros simples no último período, e esta calculadora faz o mesmo.
- Preço limpo é o preço cotado, sem os juros acumulados. A função PRICE do Excel retorna esse valor.
- Juros acumulados são a parte do próximo cupom que o vendedor já ganhou desde a última data de cupom: c × A ÷ E, com A os dias acumulados e E os dias do período de cupom.
- Preço sujo (de fatura) é o preço limpo mais os juros acumulados: o que o comprador de fato paga por 100 de valor de face.
- Rendimento até o vencimento é a única taxa anual que desconta todos os fluxos de caixa até o preço sujo. É uma taxa nominal capitalizada f vezes por ano, por isso é cotada como “equivalente de título”. A calculadora a encontra por bisseção, então é exata onde a função YIELD do Excel itera até cerca de sete casas decimais.
- Rendimento corrente é o cupom anual dividido pelo preço limpo. Ele ignora qualquer ganho ou perda no vencimento.
Duration: o quanto o preço é sensível
A duration de Macaulay é a média dos tempos até os fluxos de caixa do título, ponderada pelo valor presente, em anos: Σ t × VP ÷ Σ VP. A duration modificada, duration de Macaulay ÷ (1 + y/f), estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: ΔP ÷ P ≈ −duration modificada × Δy. A tabela da calculadora compara essa estimativa com a precificação exata; a diferença é a convexidade, que cresce com o tamanho da variação do rendimento. A duration de Macaulay de um título zero-cupom é igual ao seu prazo até o vencimento, e um cupom mais alto encurta a duration.
Exemplo prático
Este é o exemplo da documentação da Microsoft para a função PRICE do Excel: liquidação em 15 de fevereiro de 2008, vencimento em 15 de novembro de 2017, cupom semestral de 5,75%, rendimento de 6,5%, resgate 100, base 30/360. A liquidação cai exatamente na metade de um período de cupom (A = 90, E = 180, DSC = 90), com 20 cupons restantes, então os juros acumulados são 2,875 × 90 ÷ 180 = 1,4375. O preço limpo é 94,6344 e o preço sujo é 96,0719. O rendimento corrente é 5,75 ÷ 94,6344 = 6,076%, acima da taxa do cupom porque o título negocia abaixo do par. A duration de Macaulay é 7,4165 anos e a duration modificada é 7,1830.
Se o rendimento subir um ponto percentual, para 7,5%, o preço limpo cai para 88,035, uma queda de 6,97%; a duration modificada previa −7,18%. Se cair para 5,5%, o preço sobe para 101,858, uma alta de 7,63%, contra uma previsão de 7,18%. O preço sobe mais do que cai — essa assimetria é a convexidade. Inserir um preço de 90 no lugar disso dá um rendimento até o vencimento de 7,1928%.
| Base | Dias acumulados A | Dias no período E | Juros acumulados | Preço limpo |
|---|---|---|---|---|
| 0 — 30/360 EUA | 90 | 180 | 1,4375 | 94,6344 |
| 1 — real/real | 92 | 182 | 1,4533 | 94,6354 |
| 2 — real/360 | 92 | 180 | 1,4694 | 94,6024 |
| 3 — real/365 | 92 | 182,5 | 1,4493 | 94,6436 |
| 4 — 30/360 europeia | 90 | 180 | 1,4375 | 94,6344 |
Coincidência com o Excel
A calculadora reproduz os exemplos da documentação da Microsoft para PRICE (94,63436162), YIELD (6,5% para um preço de 95,04287), DURATION (10,9191453 para um título de 30 anos com cupom de 8% a um rendimento de 9%, real/real) e MDURATION (5,73567). Ela não modela títulos resgatáveis antecipadamente, de taxa flutuante, cupons inicial ou final irregulares, impostos ou risco de crédito. É uma ferramenta de aprendizado, não uma recomendação de investimento.
Perguntas frequentes
- O que é o rendimento até o vencimento?
- É a taxa anual de retorno que você obteria se comprasse o título pelo preço atual, o mantivesse até o vencimento e recebesse todos os cupons e o resgate nas datas previstas. Matematicamente, é a taxa de desconto que faz o valor presente desses fluxos de caixa igualar o preço que você paga, incluindo os juros acumulados.
- Por que o preço de um título cai quando os rendimentos sobem?
- Porque os cupons fixos e o resgate valem menos quando descontados a uma taxa maior. Um título que paga 5,75% fica menos atraente quando novos títulos rendem 7,5%, então seu preço precisa cair até que o rendimento se iguale. Quanto mais longo o título e menor o cupom, maior a queda.
- Qual é a diferença entre preço limpo e preço sujo?
- O preço limpo exclui os juros acumulados e é o valor cotado no mercado; o preço sujo inclui esses juros e é o que o comprador paga na liquidação. Entre as datas de cupom, o preço sujo sobe gradualmente à medida que os juros se acumulam, enquanto o preço limpo não dá um salto quando um cupom é pago.
- Qual é a diferença entre rendimento até o vencimento e rendimento corrente?
- O rendimento corrente é apenas o cupom anual dividido pelo preço. O rendimento até o vencimento também considera o ganho se você compra abaixo do par (ou a perda, se compra acima), à medida que o preço converge para o resgate, e o valor do tempo de cada fluxo de caixa. Para um título comprado pelo par, os dois são iguais.
- O que a duration informa?
- A duration de Macaulay é o tempo médio ponderado, em anos, até você receber os fluxos de caixa do título. A duration modificada a converte em sensibilidade de preço: uma duration modificada de 7,18 significa uma variação de preço de cerca de 7,18% para cada ponto percentual de variação do rendimento, na direção oposta.
- Qual base de contagem de dias devo usar?
- Use a convenção dos termos do título. Títulos corporativos e municipais dos EUA costumam usar 30/360, os títulos do Tesouro dos EUA usam real/real, e muitos instrumentos do mercado monetário usam real/360. As diferenças são pequenas, como mostra a tabela, mas importam para os juros acumulados e para reproduzir exatamente uma cotação.