Wie lautet die Formel für die Gravitationskraft?

F = G m₁ m₂ / r², wobei G = 6,6743 × 10−11 N·m²/kg², m₁ und m₂ die beiden Massen in Kilogramm sind und r der Abstand ihrer Mittelpunkte in Metern ist. Das Ergebnis steht in Newton. Verdoppelt man eine der Massen, verdoppelt sich die Kraft; verdoppelt man den Abstand, sinkt sie auf ein Viertel.

Wie groß ist G, und warum lässt es sich so schwer messen?

Der empfohlene CODATA-Wert von 2022 lautet 6,67430 × 10−11 m³ kg⁻¹ s⁻², mit einer Unsicherheit von etwa 22 ppm. Die Gravitation ist mit Abstand die schwächste Kraft; Laborversuche müssen daher winzige Kräfte zwischen kleinen Massen gegen Vibrationen und thermisches Rauschen erfassen, und verschiedene Experimente stimmen noch leicht nicht überein.

Wie ermittle ich g auf einem anderen Planeten?

Verwenden Sie den Feldstärke-Modus mit der Planetenvorlage und einer Höhe von null: g = GM/R². Für den Mars ergibt sich etwa 3,73 m/s², für den Mond etwa 1,62 m/s². Masse und Radius stammen aus dem Planetary Fact Sheet der NASA.

Warum ist mein Ergebnis so klein?

Die Gravitation zwischen alltäglichen Gegenständen ist tatsächlich winzig. Zwei Personen mit je 70 kg im Abstand von einem Meter ziehen einander nur mit etwa 3 × 10−7 N an. Prüfen Sie auch Ihre Einheiten: Ein in Kilometern eingegebener, aber als Meter gelesener Abstand verändert die Kraft um den Faktor eine Million.

Was ist der Unterschied zwischen Gravitationskraft und Gewicht?

Das Gewicht ist die Gravitationskraft, die ein großer Körper, meist die Erde, auf einen Gegenstand ausübt, W = mg, wobei g = GM/R² an dieser Stelle gilt. Der Kraftrechner und die Gewichtsformel stimmen überein: Eine Person mit 70 kg spürt an der Erdoberfläche 687,4 N.

Erreicht die Schwerkraft jemals null?

Nicht in einer endlichen Entfernung. Die Kraft nimmt mit 1/r² ab, wird also sehr klein, aber nie genau null. Zwischen zwei Körpern gibt es Punkte, an denen sich ihre Anziehungen aufheben, doch jede Anziehung ist weiterhin vorhanden.

Gravitationskraft-Rechner

Wählen Sie, was Sie ermitteln möchten – die Kraft zwischen zwei Massen, eine der beiden Massen, den Abstand oder die Stärke der Schwerkraft in einer bestimmten Höhe über einem Planeten – und geben Sie den Rest ein. Sie erhalten das Ergebnis in den gewählten Einheiten, die dadurch verursachten Beschleunigungen und die Gleichung mit Ihren eingesetzten Zahlen. Kostenlos, ohne Anmeldung, und alles läuft vollständig in Ihrem Browser.

Was möchten Sie ermitteln?

Kraft zwischen zwei MassenGravitationsfeldstärke (g)

Mit einem Beispiel beginnen

Gesucht wird

Gravitationskraft FMasse m₁Masse m₂Abstand r zwischen den Mittelpunkten

Masse m₁

Masse m₂

Abstand r zwischen den Mittelpunkten

Gemessen von Mittelpunkt zu Mittelpunkt. Für eine Person, die auf der Erde steht, verwenden Sie den Erdradius.

Gravitationskraft F

Ergebnisse

1,982 × 10²⁰ N

Gravitationskraft

3,318 × 10⁻⁵ m/s²

Beschleunigung von m₁

0,002698 m/s²

Beschleunigung von m₂

Der Rechenweg

F = G m₁ m₂ / r²

F = 6,6743 × 10⁻¹¹ × 5,9722 × 10²⁴ × 7,346 × 10²² / (3,844 × 10⁸)²

F = 1,982 × 10²⁰ N

Jede Masse zieht die andere mit derselben Kraft F an, in entgegengesetzte Richtungen.

Signifikante Stellen

Angenommen werden Punktmassen oder homogene Kugeln, deren Anziehung so wirkt, als sei ihre gesamte Masse im Mittelpunkt vereinigt (Schalensatz von Newton). Rotation, Gezeiten sowie die Anziehung durch Mond oder Sonne auf einen Oberflächenpunkt bleiben unberücksichtigt.

So verwenden Sie den Gravitationskraft-Rechner

1. Berechnung wählen. Kraft zwischen zwei Massen wendet das Newtonsche Gesetz auf jedes Paar von Körpern an. Gravitationsfeldstärke liefert g in einer Höhe über einem Planeten, Mond oder Stern.
2. Gesuchte Größe wählen. Das Feld der gesuchten Größe wird zur Antwort; füllen Sie die anderen aus. Jedes Feld hat sein eigenes Einheitenmenü – von Kilogramm bis Erdmassen, von Metern bis zu astronomischen Einheiten –, und wissenschaftliche Schreibweise wie 5,97e24 funktioniert. Beginnen Sie mit einem Beispiel, wenn Sie einen brauchbaren Satz von Zahlen möchten.
3. Rechenweg prüfen. Die Gleichung wird mit Ihren Werten in SI-Einheiten angezeigt, sodass Sie sie Zeile für Zeile mit Ihrer eigenen Rechnung vergleichen können.
4. Genauigkeit festlegen. Ergebnisse werden auf 3 bis 6 signifikante Stellen gerundet; die Rechnung selbst läuft immer mit voller Genauigkeit.

Newtonsches Gravitationsgesetz

Kraft

F = G m₁ m₂ / r²

Feldstärke

g = G M / (R + h)²

Jede Masse zieht jede andere Masse mit einer Kraft an, die proportional zum Produkt der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ihrer Mittelpunkte ist. G ist die Gravitationskonstante, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² (CODATA 2022, mit einer Unsicherheit von etwa 0,0023 %). Sie ist damit die am wenigsten genau bekannte der fundamentalen Konstanten (siehe die NIST-CODATA-Tabellen). Weil sie so klein ist, wird die Gravitation erst spürbar, wenn eine der Massen planetengroß ist.

Die beiden Kräfte in der Formel bilden ein Paar. Körper 1 zieht Körper 2 genauso stark an, wie Körper 2 Körper 1 anzieht, in entgegengesetzter Richtung (drittes newtonsches Gesetz). Die Beschleunigungen unterscheiden sich jedoch, weil die Beschleunigung Kraft geteilt durch Masse ist. Deshalb gibt der Rechner a₁ und a₂ getrennt an. Das Gesetz und seine Beispielaufgaben finden Sie in OpenStax University Physics, Abschnitt 13.1.

Durchgerechnete Beispiele

Erde und Mond (das Standardbeispiel). Mit M⊕ = 5,9722 × 10²⁴ kg, m☾ = 7,346 × 10²² kg und einem mittleren Abstand von 384.400 km ergibt sich F = 1,982 × 10²⁰ N. Die Erde beschleunigt zum Mond hin nur mit 3,318 × 10⁻⁵ m/s²; der Mond beschleunigt zur Erde hin mit 0,002698 m/s².
Eine Person mit 70 kg auf der Erde. Mit dem mittleren Erdradius von 6.371 km als Abstand ergibt sich F = 687,4 N, und die Beschleunigung der Person beträgt 9,820 m/s². Das ist einfach das Gewicht, W = mg, und deshalb gilt g ≈ 9,8 m/s².
Zwei Personen mit je 70 kg im Abstand von einem Meter. F = 3,270 × 10⁻⁷ N – etwa ein Drittel eines Mikronewtons, viel zu klein, um sie zu spüren oder die Reibung zu überwinden.
Sonne und Erde. Mit der Masse der Sonne von 1,9884 × 10³⁰ kg und einem Abstand von 149.598.000 km ergibt sich F = 3,542 × 10²² N – die Kraft, die die Erde auf ihrer Bahn hält.

Schwerkraft in der Höhe

Die Schwerkraft nimmt mit dem Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt des Planeten ab, nicht von seiner Oberfläche. Steigen Sie 408 km über die Erde, etwa in die Höhe der Umlaufbahn der Internationalen Raumstation, so wächst der Abstand von 6.371 km auf 6.779 km. Die Feldstärke sinkt auf g = 8,674 m/s², das sind 88,33 % ihres Oberflächenwertes. In 100 km Höhe, der Grenze des Weltraums nach der Kármán-Konvention, beträgt sie noch 9,519 m/s² (96,93 %). Selbst in der Höhe von 35.786 km einer geostationären Umlaufbahn beträgt g noch 0,2243 m/s², etwa 2,3 % des Oberflächenwertes, und das ist nicht null.

Astronauten sind nicht schwerelos, weil die Schwerkraft fehlt

In 408 km Höhe beträgt die Schwerkraft noch fast 90 % dessen, was Sie am Boden spüren. Astronauten schweben, weil sie und die Station sich in einem ständigen freien Fall um die Erde befinden und dabei gemeinsam beschleunigen. Der Schwerkraft vollständig zu entkommen würde eine unendliche Entfernung erfordern: Sie wird nur immer schwächer.

Annahmen und Grenzen

Punktmassen oder homogene Kugeln. Der Schalensatz von Newton zeigt, dass ein kugelsymmetrischer Körper so anzieht, als wäre seine ganze Masse im Mittelpunkt vereinigt; deshalb können Planeten und Sterne dieselbe Formel verwenden. Bei unregelmäßigen oder nicht kugelförmigen Objekten ist das Ergebnis eine Näherung.
Der Abstand wird von Mittelpunkt zu Mittelpunkt gemessen. Den Abstand zwischen den Oberflächen einzusetzen ist der häufigste Fehler bei Hausaufgaben; addieren Sie beide Radien.
Newtonsche Gravitation. Ausreichend für alles von fallenden Äpfeln bis zu Planetenbahnen. Extrem starke Felder oder sehr genaue Bahnen (das Perihel des Merkur, GPS-Uhren) erfordern die allgemeine Relativitätstheorie.
Daten der Himmelskörper. Die Vorlagen verwenden Massen und volumetrische mittlere Radien aus dem Planetary Fact Sheet der NASA. Gasriesen haben keine feste Oberfläche; ihr Radius wird daher auf der Druckstufe von 1 bar angesetzt, und die tatsächliche Oberflächenschwerkraft hängt von Breitengrad und Rotation ab.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die Gravitationskraft?: F = G m₁ m₂ / r², wobei G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², m₁ und m₂ die beiden Massen in Kilogramm sind und r der Abstand ihrer Mittelpunkte in Metern ist. Das Ergebnis steht in Newton. Verdoppelt man eine der Massen, verdoppelt sich die Kraft; verdoppelt man den Abstand, sinkt sie auf ein Viertel.
Wie groß ist G, und warum lässt es sich so schwer messen?: Der empfohlene CODATA-Wert von 2022 lautet 6,67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², mit einer Unsicherheit von etwa 22 ppm. Die Gravitation ist mit Abstand die schwächste Kraft; Laborversuche müssen daher winzige Kräfte zwischen kleinen Massen gegen Vibrationen und thermisches Rauschen erfassen, und verschiedene Experimente stimmen noch leicht nicht überein.
Wie ermittle ich g auf einem anderen Planeten?: Verwenden Sie den Feldstärke-Modus mit der Planetenvorlage und einer Höhe von null: g = GM/R². Für den Mars ergibt sich etwa 3,73 m/s², für den Mond etwa 1,62 m/s². Masse und Radius stammen aus dem Planetary Fact Sheet der NASA.
Warum ist mein Ergebnis so klein?: Die Gravitation zwischen alltäglichen Gegenständen ist tatsächlich winzig. Zwei Personen mit je 70 kg im Abstand von einem Meter ziehen einander nur mit etwa 3 × 10⁻⁷ N an. Prüfen Sie auch Ihre Einheiten: Ein in Kilometern eingegebener, aber als Meter gelesener Abstand verändert die Kraft um den Faktor eine Million.
Was ist der Unterschied zwischen Gravitationskraft und Gewicht?: Das Gewicht ist die Gravitationskraft, die ein großer Körper, meist die Erde, auf einen Gegenstand ausübt, W = mg, wobei g = GM/R² an dieser Stelle gilt. Der Kraftrechner und die Gewichtsformel stimmen überein: Eine Person mit 70 kg spürt an der Erdoberfläche 687,4 N.
Erreicht die Schwerkraft jemals null?: Nicht in einer endlichen Entfernung. Die Kraft nimmt mit 1/r² ab, wird also sehr klein, aber nie genau null. Zwischen zwei Körpern gibt es Punkte, an denen sich ihre Anziehungen aufheben, doch jede Anziehung ist weiterhin vorhanden.