Dopplereffekt-Rechner

Ergebnisse

So verwenden Sie den Dopplereffekt-Rechner

1. 1. Wählen Sie Schall oder Licht. Schall braucht ein Medium und wird mit der klassischen Formel berechnet; Licht breitet sich im leeren Raum aus und braucht die relativistische Formel.
2. 2. Bei Schall wählen Sie, was ermittelt werden soll. Wählen Sie die gehörte Frequenz, die ausgesendete Frequenz oder die Geschwindigkeit der Quelle, und geben Sie dann die Schallgeschwindigkeit (343 m/s in Luft bei 20 °C), die Frequenzen sowie Geschwindigkeit und Richtung jedes Beteiligten ein.
3. 3. Bei Licht geben Sie an, was Sie wissen. Geben Sie eine Geschwindigkeit, eine Rotverschiebung z oder die beobachtete und die ausgesendete Wellenlänge ein. Mit einer Ruhewellenlänge sehen Sie, wo eine Spektrallinie landet.
4. 4. Lesen Sie die Ergebnisse und den Rechenweg. Sie erhalten den verschobenen Wert, die prozentuale Änderung, die Machzahl oder β, eine Zeichnung der Wellenfronten und jede Formel mit Ihren Zahlen.

Die Dopplerformel für Schall

Wenn sich eine Schallquelle und ein Hörer relativ zur Luft bewegen, gilt für die gehörte Frequenz f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ). Dabei ist f die von der Quelle ausgesendete Frequenz, v die Schallgeschwindigkeit im Medium, vₒ die Geschwindigkeit des Beobachters zur Quelle hin und vₛ die Geschwindigkeit der Quelle zum Beobachter hin. Bewegt sich einer der beiden weg, wird seine Geschwindigkeit negativ angesetzt. Eine sich nähernde Quelle staucht die Wellenfronten vor ihr zusammen (eine höhere Tonhöhe), eine sich entfernende Quelle zieht sie auseinander (eine tiefere Tonhöhe).

Die beiden Fälle sind nicht symmetrisch. Eine bewegte Quelle verändert die Wellenlänge, die einen stehenden Beobachter erreicht; ein bewegter Beobachter trifft dieselbe Wellenlänge in einer anderen Rate. Bei gleicher Geschwindigkeit ergeben sie daher leicht unterschiedliche Verschiebungen, und die Formel hält beide getrennt.

Beispiel: eine Krankenwagensirene

Eine Sirene sendet 700 Hz aus und fährt mit 30 m/s (108 km/h) an einem stehenden Zuhörer vorbei; die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Dies sind die Ausgangswerte:

• Sich nähernd: f′ = 700 × 343 ÷ (343 − 30) = 767,1 Hz, 9,6 % höher.
• Sich entfernend: f′ = 700 × 343 ÷ (343 + 30) = 643,7 Hz, 8,0 % tiefer. Der Rechner zeigt dies als „wenn beide Richtungen umgekehrt wären“.
• Mit 1,5 m/s auf einen 440-Hz-Lautsprecher zugehen: f′ = 440 × (343 + 1,5) ÷ 343 = 441,9 Hz, eine Verschiebung von nur 0,44 %, zu gering, um sie zu hören.

Dieselbe Formel rückwärts gelesen ermittelt die Geschwindigkeit der Quelle. Hört ein stehender Zuhörer eine 700-Hz-Sirene mit 767 Hz, so beträgt die Geschwindigkeit der Quelle v − f × v ÷ f′ = 343 − 700 × 343 ÷ 767, also etwa 30 m/s zum Zuhörer hin. Erreicht die Quelle die Schallgeschwindigkeit, wird der Nenner null; darüber stauen sich die Wellen zu einer Stoßfront, dem Überschallknall, und die Formel gilt nicht mehr.

Dopplerverschiebung und Rotverschiebung für Licht

Licht braucht kein Medium, daher zählt nur die Relativgeschwindigkeit, und die Verschiebung folgt aus der speziellen Relativitätstheorie. Entfernt sich eine Quelle mit der Geschwindigkeit v entlang der Sichtlinie und ist β = v ÷ c, so ist die beobachtete Wellenlänge um den Faktor 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)) länger; eine sich nähernde Quelle ergibt ein negatives z, eine Blauverschiebung. Umgekehrt gilt β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1). Bei kleiner Geschwindigkeit gilt z ≈ v/c, doch die klassische Näherung versagt nahe der Lichtgeschwindigkeit.

Das Ausgangsbeispiel ist eine Quelle, die sich mit 30.000 km/s entfernt (β = 0,1001): Die Relativitätstheorie ergibt z = 0,1056, sodass eine bei 656,3 nm ausgesendete Spektrallinie bei 725,6 nm beobachtet wird, während die klassische Schätzung z ≈ v/c = 0,1001 um 5,3 % zu niedrig liegt.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel des Dopplereffekts?

Für Schall f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ), mit v der Schallgeschwindigkeit, vₒ der Geschwindigkeit des Beobachters zur Quelle hin und vₛ der Geschwindigkeit der Quelle zum Beobachter hin. Bei Bewegung in die Gegenrichtung verwenden Sie negative Werte. Für Licht gilt bei einer sich entfernenden Quelle 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)).

Warum sinkt die Tonhöhe einer Krankenwagensirene, wenn sie vorbeifährt?

Während sie sich nähert, wird jede Wellenfront näher bei Ihnen ausgesendet als die vorherige, sodass sie häufiger ankommen und Sie eine höhere Frequenz hören. Nachdem sie vorbeigefahren ist, beginnt jede Wellenfront weiter entfernt, sodass sie seltener ankommt und die Tonhöhe tiefer ist. Die Sirene selbst ändert sich nie.

Was ist Rotverschiebung, und was bedeutet z?

Die Rotverschiebung z ist die relative Zunahme der Wellenlänge: z = (λ_beobachtet − λ_ausgesendet) ÷ λ_ausgesendet. Eine Spektrallinie, die bei 500 nm ausgesendet und bei 550 nm beobachtet wird, hat z = 0,1. Ein negatives z bedeutet, dass das Licht zum Blauen hin verschoben ist.

Kann eine Quelle in der Dopplerformel schneller als der Schall sein?

Nein. Bei der Schallgeschwindigkeit ergibt die Formel eine unendliche Frequenz, und schneller als der Schall überlappen sich die Wellen zu einer kegelförmigen Stoßwelle. Die Machzahl, die im Ergebnis angezeigt wird, ist die Geschwindigkeit der Quelle geteilt durch die Schallgeschwindigkeit.

Ist die Geschwindigkeit des Beobachters oder der Quelle wichtiger?

Bei Schall unterscheiden sie sich leicht. Bei gleicher Geschwindigkeit verschiebt eine bewegte Quelle die Frequenz etwas stärker als ein bewegter Beobachter, weil die Geschwindigkeit im Nenner steht. Bei Licht sind beide Fälle identisch, da nur die Relativgeschwindigkeit zählt.

Wie werden Dopplerverschiebungen in der Praxis genutzt?

Polizei- und Wetterradare messen die Verschiebung reflektierter Mikrowellen, um Geschwindigkeiten und Wind zu bestimmen; medizinischer Ultraschall nutzt sie zur Messung des Blutflusses; und Astronomen nutzen Verschiebungen von Spektrallinien, um die Geschwindigkeiten von Sternen, von Planeten, die an ihrem Stern zerren, und von Galaxien zu messen.