多普勒效应计算器

结果

如何使用多普勒效应计算器

1. 1. 选择声音或光。 声音需要介质,使用经典公式;光可在真空中传播,需要使用相对论公式。
2. 2. 对于声音,选择要求的量。 可以选择接收到的频率、发出的频率或声源的速度,然后输入声速(20 °C 空气中为 343 m/s)、频率,以及各方的速度和运动方向。
3. 3. 对于光,输入已知的量。 输入速度、红移 z,或观测波长与发射波长。添加静止波长,即可看到谱线落在何处。
4. 4. 阅读结果与计算过程。 您会得到变化后的数值、百分比变化、马赫数或 β、波前的示意图,以及每个公式代入您的数字后的样子。

声音的多普勒公式

当声源和观察者相对于空气运动时,观察者接收到的频率为 f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ)。其中 f 是声源发出的频率,v 是介质中的声速,vₒ 是观察者朝向声源的速度,vₛ 是声源朝向观察者的速度。若运动是远离,则相应速度取负值。接近的声源会使前方的波前挤压在一起(音调变高),远离的声源则使波前拉开(音调变低)。

两种情形并不对称。运动的声源会改变到达静止观察者的波长;运动的观察者则以不同的速率遇到同样的波长。对于相同的速度,两者产生的频移略有不同,公式会把它们分开处理。

示例:救护车警笛

一辆救护车的警笛发出 700 Hz 的声音,以 30 m/s(108 km/h)的速度驶过一位静止的观察者,声速取 343 m/s。起始数值如下:

• 接近时: f′ = 700 × 343 ÷ (343 − 30) = 767.1 Hz,高 9.6%。
• 远离时: f′ = 700 × 343 ÷ (343 + 30) = 643.7 Hz,低 8.0%。计算器将其显示为“若两个方向都反转”。
• 以 1.5 m/s 的速度朝 440 Hz 的扬声器步行: f′ = 440 × (343 + 1.5) ÷ 343 = 441.9 Hz,仅变化 0.44%,小到几乎听不出来。

同一公式反过来用,可以求出声源的速度。若一个 700 Hz 的警笛被静止的人听到为 767 Hz,则声源速度为 v − f × v ÷ f′ = 343 − 700 × 343 ÷ 767,约为 30 m/s,且朝向观察者。当声源的速度达到声速时,分母变为零;超过声速后,波会叠加成冲击波,即音爆,此时该公式不再适用。

光的多普勒频移与红移

光不需要介质,因此只有相对速度才有影响,频移可由狭义相对论推出。对于沿视线方向以速度 v 远离的光源,令 β = v ÷ c,观测到的波长会按因子 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)) 变长;接近的光源给出负的 z,即蓝移。反过来,β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1)。在低速时 z ≈ v/c,但经典估算在接近光速时会失效。

起始示例是以 30,000 km/s(β = 0.1001)远离的光源:相对论给出 z = 0.1056,因此发射波长为 656.3 nm 的谱线会被观测为 725.6 nm,而经典估算 z ≈ v/c = 0.1001 则偏低 5.3%。

常见问题

多普勒效应的公式是什么?

对于声音,f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ),其中 v 为声速,vₒ 为观察者朝向声源的速度,vₛ 为声源朝向观察者的速度。远离时取负值。对于光,远离的光源满足 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β))。

为什么救护车经过时音调会降低?

接近时,每一个波前都比前一个在离您更近的位置发出,因此它们到达您的频率更高,您听到的音调也更高。驶过之后,每一个波前的发出位置都越来越远,到达的频率就更低,音调随之下降。警笛本身的频率从未改变。

什么是红移?z 代表什么?

红移 z 是波长的相对增加量:z = (λ_observed − λ_emitted) ÷ λ_emitted。若一条 500 nm 的谱线被观测为 550 nm,则 z = 0.1。z 为负值表示光向蓝端偏移。

多普勒公式中的声源能否超过声速?

不能。在声速处,公式给出无穷大的频率;超过声速后,波会叠加成锥形的冲击波。结果中显示的马赫数,即声源速度除以声速。

观察者的速度与声源的速度,哪个影响更大?

对于声音,两者略有不同。在速度相同的情况下,运动的声源比运动的观察者使频率变化稍多一些,因为速度出现在分母中。对于光,两种情形完全相同,因为只有相对速度才有影响。

多普勒频移在实际中如何应用?

测速雷达和气象雷达通过测量反射微波的频移来求出速度和风速;医学超声用它来测量血流;天文学家则利用谱线的频移测量恒星、使恒星摆动的行星以及星系的速度。