도플러 효과 계산기

결과

도플러 효과 계산기 사용 방법

1. 1. 소리 또는 빛을 고르세요. 소리는 매질이 있어야 하므로 고전 공식을 씁니다. 빛은 빈 공간을 지나므로 상대론적 공식이 필요합니다.
2. 2. 소리라면 구하려는 값을 고르세요. 들리는 진동수, 방출되는 진동수, 음원의 속력 중 하나를 고른 뒤 소리의 속력(20 °C 공기 중 343 m/s), 진동수, 그리고 각 대상의 속력과 방향을 입력하세요.
3. 3. 빛이라면 아는 값을 입력하세요. 속력, 적색편이 z, 또는 관측 파장과 방출 파장 중 하나를 입력하세요. 정지 파장을 더하면 스펙트럼선이 어디에 나타나는지 볼 수 있습니다.
4. 4. 결과와 계산 과정을 읽으세요. 변한 값, 변화율, 마하수 또는 β, 파면 그림, 그리고 숫자를 대입한 각 공식이 나타납니다.

소리의 도플러 공식

소리를 내는 음원과 청취자가 공기에 대해 움직이면, 청취자가 듣는 진동수는 f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ)입니다. 여기서 f는 음원이 방출하는 진동수, v는 매질에서의 소리의 속력, vₒ는 관측자가 음원 쪽으로 움직이는 속력, vₛ는 음원이 관측자 쪽으로 움직이는 속력입니다. 멀어지는 운동이라면 해당 속력은 음수입니다. 다가오는 음원은 앞쪽의 파면을 조밀하게 만들어 높은 음이 들리고, 멀어지는 음원은 파면을 넓게 펼쳐 낮은 음이 들립니다.

두 경우는 대칭이 아닙니다. 움직이는 음원은 정지한 관측자에게 도달하는 파장을 바꾸고, 움직이는 관측자는 같은 파장을 다른 빈도로 만납니다. 같은 속력이라도 두 경우의 편이가 조금씩 다르며, 공식은 이 둘을 따로 구분합니다.

실제 예시: 구급차 사이렌

사이렌이 700 Hz를 방출하며 30 m/s(108 km/h)로 정지해 있는 청취자 옆을 지나갑니다. 소리의 속력은 343 m/s입니다. 시작 값은 다음과 같습니다:

• 다가올 때: f′ = 700 × 343 ÷ (343 − 30) = 767.1 Hz, 9.6% 높습니다.
• 멀어질 때: f′ = 700 × 343 ÷ (343 + 30) = 643.7 Hz, 8.0% 낮습니다. 계산기는 이를 “두 방향이 모두 반대라면”으로 표시합니다.
• 1.5 m/s로 440 Hz 스피커를 향해 걸을 때: f′ = 440 × (343 + 1.5) ÷ 343 = 441.9 Hz, 변화는 0.44%에 불과해 들리지 않을 만큼 작습니다.

같은 공식을 거꾸로 적용하면 음원의 속력을 구할 수 있습니다. 정지해 있는 사람이 700 Hz 사이렌을 767 Hz로 듣는다면, 음원의 속력은 v − f × v ÷ f′ = 343 − 700 × 343 ÷ 767, 즉 청취자 쪽으로 약 30 m/s입니다. 음원의 속력이 소리의 속력에 이르면 분모가 0이 됩니다. 그보다 빠르면 파면이 겹쳐 충격파, 즉 음속 폭음(소닉붐)이 생기며 이 공식은 더 이상 적용되지 않습니다.

빛의 도플러 편이와 적색편이

빛은 매질이 필요 없으므로 상대 속도만 중요하며, 그 편이는 특수 상대성 이론에서 나옵니다. 시선 방향으로 속력 v에 따라 멀어지는 광원에 대해 β = v ÷ c라 하면, 관측 파장은 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)) 배만큼 길어집니다. 다가오는 광원은 음의 z, 즉 청색편이를 보입니다. 거꾸로, β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1)입니다. 속력이 낮으면 z ≈ v/c이지만, 이 고전적 근사는 빛의 속력에 가까워지면 맞지 않습니다.

시작 예시는 30,000 km/s(β = 0.1001)로 멀어지는 광원입니다. 상대론으로 계산하면 z = 0.1056이므로, 방출 파장 656.3 nm인 스펙트럼선은 725.6 nm로 관측됩니다. 반면 고전적 근사값 z ≈ v/c = 0.1001은 5.3% 낮게 나옵니다.

자주 묻는 질문

도플러 효과 공식은 무엇인가요?

소리의 경우 f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ)이며, v는 소리의 속력, vₒ는 관측자가 음원 쪽으로 움직이는 속력, vₛ는 음원이 관측자 쪽으로 움직이는 속력입니다. 멀어지는 운동에는 음수를 씁니다. 빛의 경우 멀어지는 광원에 대해 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β))입니다.

구급차 사이렌은 지나갈 때 왜 음이 낮아지나요?

다가오는 동안 각 파면은 앞선 파면보다 당신에게 더 가까운 곳에서 방출되므로 더 자주 도착하고, 그래서 더 높은 진동수가 들립니다. 지나간 뒤에는 각 파면이 더 먼 곳에서 출발하므로 덜 자주 도착하여 음이 낮아집니다. 사이렌 자체의 진동수는 변하지 않습니다.

적색편이와 z는 무엇을 뜻하나요?

적색편이 z는 파장이 늘어나는 비율입니다: z = (λ관측 − λ방출) ÷ λ방출. 500 nm로 방출된 스펙트럼선이 550 nm로 관측되면 z = 0.1입니다. z가 음수이면 빛이 청색 쪽으로 편이된 것입니다.

도플러 공식에서 음원이 소리보다 빠르게 움직일 수 있나요?

아닙니다. 소리의 속력에서 공식은 무한한 진동수를 주고, 그보다 빠르면 파면이 겹쳐 원뿔 모양의 충격파가 됩니다. 결과에 나오는 마하수는 음원의 속력을 소리의 속력으로 나눈 값입니다.

소리에서는 음원과 관측자 중 어느 쪽의 속력이 더 중요한가요?

소리에서는 두 경우가 조금 다릅니다. 같은 속력이라면 움직이는 음원이 움직이는 관측자보다 진동수를 약간 더 크게 바꿉니다. 속력이 분모에 들어가기 때문입니다. 빛의 경우에는 상대 속도만 중요하므로 두 경우가 같습니다.

도플러 편이는 실제로 어디에 쓰이나요?

경찰 레이더와 기상 레이더는 반사된 마이크로파의 편이를 측정해 속력과 바람을 구하고, 의료용 초음파는 이를 이용해 혈류를 측정합니다. 천문학자들은 스펙트럼선의 편이로 별, 항성을 흔드는 행성, 은하의 속력을 측정합니다.