Calcolatore dell'Effetto Doppler
Trova la frequenza che un ascoltatore percepisce quando si muovono una sorgente sonora o l'ascoltatore, risali alla frequenza o alla velocità della sorgente, oppure passa alla luce per trasformare una velocità in un redshift z — o un redshift in una velocità. Le convenzioni sui segni sono dichiarate, i fronti d'onda sono disegnati e il procedimento è svolto per esteso. Gratuito, senza registrazione.
343 m/s in aria a 20 °C; 331 m/s a 0 °C.
Convenzione: la velocità dell'osservatore conta come positiva se va verso la sorgente, e la velocità della sorgente come positiva se va verso l'osservatore. L'aria si considera ferma.
Risultati
767,1 Hz
Frequenza percepita
+9,585%
Variazione di frequenza
643,7 Hz
Se entrambe le direzioni fossero invertite
0,08746
Velocità della sorgente come numero di Mach
Il procedimento
- f′ = f × (v + 0) ÷ (v − 30) = 700 × (343 + 0) ÷ (343 − 30) = 767,1 Hz
Come usare il Calcolatore dell'Effetto Doppler
- 1. Scegli suono o luce. Il suono richiede un mezzo e usa la formula classica; la luce viaggia nel vuoto e richiede quella relativistica.
- 2. Per il suono, scegli che cosa trovare. Scegli la frequenza percepita, la frequenza emessa o la velocità della sorgente, poi inserisci la velocità del suono (343 m/s in aria a 20 °C), le frequenze e la velocità e la direzione di ciascuno.
- 3. Per la luce, inserisci ciò che conosci. Indica una velocità, un redshift z, oppure le lunghezze d'onda osservata ed emessa. Aggiungi una lunghezza d'onda di riposo per vedere dove cade una riga spettrale.
- 4. Leggi i risultati e il procedimento. Ottieni il valore spostato, la variazione percentuale, il numero di Mach o β, un disegno dei fronti d'onda e ciascuna formula con i tuoi numeri.
La formula Doppler per il suono
Quando una sorgente sonora e un ascoltatore si muovono rispetto all'aria, la frequenza percepita è f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ). Qui f è la frequenza emessa dalla sorgente, v è la velocità del suono nel mezzo, vₒ è la velocità dell'osservatore verso la sorgente e vₛ è la velocità della sorgente verso l'osservatore. Ciascuna delle due velocità è negativa se il moto è in allontanamento. Una sorgente che si avvicina comprime i fronti d'onda davanti a sé (un tono più acuto), e una sorgente che si allontana li stira (un tono più grave).
| Situazione | Formula | Risultato |
|---|---|---|
| Sorgente in avvicinamento, osservatore fermo | f′ = f × v ÷ (v − vₛ) | Tono più acuto |
| Sorgente in allontanamento, osservatore fermo | f′ = f × v ÷ (v + vₛ) | Tono più grave |
| Osservatore in avvicinamento, sorgente ferma | f′ = f × (v + vₒ) ÷ v | Tono più acuto |
| Osservatore in allontanamento, sorgente ferma | f′ = f × (v − vₒ) ÷ v | Tono più grave |
I due casi non sono simmetrici. Una sorgente in movimento cambia la lunghezza d'onda che raggiunge un osservatore fermo; un osservatore in movimento incontra la stessa lunghezza d'onda con una frequenza diversa. Per la stessa velocità danno spostamenti leggermente diversi, e la formula li tiene separati.
Esempio svolto: la sirena di un'ambulanza
Una sirena emette 700 Hz e viaggia a 30 m/s (108 km/h) davanti a un ascoltatore fermo, con la velocità del suono a 343 m/s. Questi sono i valori di partenza:
- In avvicinamento: f′ = 700 × 343 ÷ (343 − 30) = 767,1 Hz, il 9,6% più acuto.
- In allontanamento: f′ = 700 × 343 ÷ (343 + 30) = 643,7 Hz, l'8,0% più grave. Il calcolatore lo mostra come «se entrambe le direzioni fossero invertite».
- Camminare verso un altoparlante da 440 Hz a 1,5 m/s: f′ = 440 × (343 + 1,5) ÷ 343 = 441,9 Hz, uno spostamento di appena 0,44%, troppo piccolo per essere udito.
La stessa formula, letta al contrario, trova la velocità della sorgente. Se una sirena da 700 Hz è percepita a 767 Hz da qualcuno fermo, la velocità della sorgente è v − f × v ÷ f′ = 343 − 700 × 343 ÷ 767, cioè circa 30 m/s verso l'ascoltatore. Quando la sorgente raggiunge la velocità del suono il denominatore diventa zero; oltre questo valore i fronti d'onda si accumulano in un fronte d'urto, il bang sonico, e la formula non si applica più.
Spostamento Doppler e redshift per la luce
La luce non ha bisogno di un mezzo, quindi conta solo la velocità relativa, e lo spostamento deriva dalla relatività ristretta. Per una sorgente che si allontana lungo la linea di vista alla velocità v, con β = v ÷ c, la lunghezza d'onda osservata è più lunga del fattore 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)); una sorgente in avvicinamento dà un z negativo, un blueshift. Invertendo, β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1). A bassa velocità z ≈ v/c, ma la stima classica non regge vicino alla velocità della luce.
| Redshift z | Velocità in frazione di c | Velocità (km/s) |
|---|---|---|
| 0,01 | 0,00995 | 2.983 |
| 0,1 | 0,0950 | 28.487 |
| 0,5 | 0,385 | 115.305 |
| 1 | 0,600 | 179.875 |
| 2 | 0,800 | 239.834 |
| 5 | 0,946 | 283.587 |
L'esempio di partenza è una sorgente che si allontana a 30.000 km/s (β = 0,1001): la relatività dà z = 0,1056, quindi una riga spettrale emessa a 656,3 nm è vista a 725,6 nm, mentre la stima classica z ≈ v/c = 0,1001 è inferiore del 5,3%.
Redshift delle galassie lontane
Per sorgenti vicine la formula Doppler descrive un moto reale. Per le galassie a distanze cosmologiche il redshift osservato è soprattutto lo stiramento dello spazio stesso, quindi gli astronomi indicano z direttamente e considerano la velocità ricavata da questa formula un equivalente comodo, non una velocità letterale. Il calcolatore non modella nemmeno l'effetto Doppler trasversale, che si applica quando il moto è perpendicolare alla linea di vista.
Domande frequenti
- Qual è la formula dell'effetto Doppler?
- Per il suono, f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ), dove v è la velocità del suono, vₒ la velocità dell'osservatore verso la sorgente e vₛ la velocità della sorgente verso l'osservatore. Usa valori negativi per il moto in allontanamento. Per la luce, 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)) per una sorgente in allontanamento.
- Perché la sirena di un'ambulanza cala di tono quando passa?
- Mentre si avvicina, ogni fronte d'onda viene emesso più vicino a te del precedente, quindi arrivano più spesso e senti una frequenza più alta. Dopo il passaggio, ogni fronte d'onda parte più lontano, quindi arrivano più raramente e il tono è più grave. La sirena in sé non cambia.
- Che cos'è il redshift e che cosa significa z?
- Il redshift z è l'aumento frazionario della lunghezza d'onda: z = (λ_osservata − λ_emessa) ÷ λ_emessa. Una riga spettrale a 500 nm vista a 550 nm ha z = 0,1. Un z negativo significa che la luce è spostata verso il blu.
- Una sorgente nella formula Doppler può superare la velocità del suono?
- No. Alla velocità del suono la formula dà una frequenza infinita, e oltre quella velocità i fronti d'onda si sovrappongono in un fronte d'urto a forma di cono. Il numero di Mach, mostrato nei risultati, è la velocità della sorgente divisa per la velocità del suono.
- La velocità dell'osservatore o quella della sorgente contano di più?
- Nel suono differiscono un po'. Per la stessa velocità, una sorgente in movimento sposta la frequenza un po' più di un osservatore in movimento, perché la velocità entra al denominatore. Per la luce i due casi sono identici, perché conta solo la velocità relativa.
- Come si usano in pratica gli spostamenti Doppler?
- Il radar della polizia e quello meteorologico misurano lo spostamento delle microonde riflesse per ricavare velocità e vento; l'ecografia medica lo usa per misurare il flusso del sangue; e gli astronomi usano gli spostamenti delle righe spettrali per misurare le velocità delle stelle, dei pianeti che tirano la loro stella e delle galassie.