Calcolatore della lunghezza d'onda di de Broglie

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Come usare il calcolatore della lunghezza d'onda di de Broglie

1. 1. Scegli la particella. Le masse di elettrone, muone, protone, neutrone e particella alfa sono i valori CODATA 2022. Scegli Un'altra particella o oggetto per inserire una massa qualsiasi in kg, g o unità di massa atomica.
2. 2. Indica che cosa conosci. Velocità (in m/s, km/h o come frazione di c), energia cinetica (da µeV a GeV o in joule), quantità di moto, oppure la tensione di accelerazione per una particella carica.
3. 3. Scegli il metodo. Esatto usa la cinematica relativistica ed è corretto a qualsiasi velocità. Classico usa p = mv e K = ½mv², che è accurato solo ben al di sotto della velocità della luce.
4. 4. Leggi la lunghezza d'onda. Il risultato è accompagnato da quantità di moto, energia, velocità, β e γ, dall'errore della formula classica e da una scala che mostra dove cade la lunghezza d'onda tra un protone e la luce visibile.

La relazione di de Broglie

Nella sua tesi di dottorato del 1924 Louis de Broglie propose che la materia abbia proprietà ondulatorie, con una lunghezza d'onda λ = h ÷ p, dove h è la costante di Planck e p la quantità di moto della particella. È la stessa relazione del fotone, p = h ÷ λ, applicata alle particelle con massa. L'esperimento di Davisson e Germer del 1927, in cui elettroni diffusi da un cristallo di nichel formarono una figura di diffrazione, la confermò; de Broglie ricevette il premio Nobel per la fisica nel 1929, e Davisson e G. P. Thomson condivisero quello del 1937.

Per un elettrone accelerato da fermo attraverso V volt, il risultato classico è λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V, una regola pratica che dà 0,1669 nm a 54 V. È accurato entro l'1% fino a circa 10 kV, ma a 100 kV la formula classica è più lunga del 4,8%, e a energie più alte non regge più: la lunghezza d'onda di un elettrone relativistico diminuisce come 1/γ e, a energie molto elevate, tende al valore del fotone, hc ÷ E.

Esempi svolti

• L'elettrone di Davisson–Germer, 54 V (l'esempio di partenza): K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s e λ = 166,9 pm = 0,1669 nm, circa la distanza tra gli atomi di un cristallo. Si muove a 4,358 × 10⁶ m/s, l'1,45% di c, quindi la formula classica è sbagliata di appena lo 0,003%.
• Un microscopio elettronico a 100 kV: la lunghezza d'onda esatta è 3,701 pm (γ = 1,196, β = 0,548). La formula classica dà 3,878 pm, il 4,8% in più. È molto più piccola di un atomo, per questo i microscopi elettronici possono risolvere gli atomi dove la luce, con circa 550 nm, non può.
• Un neutrone termico, 0,025 eV: λ = 0,1808 nm a 2,19 km/s, compatibile con le distanze tra gli atomi, ed è per questo che la diffrazione dei neutroni rivela la struttura dei cristalli.
• Una particella alfa da 5 MeV: λ = 6,42 fm, simile alle dimensioni di un nucleo atomico.
• Una molecola di C₆₀ a 220 m/s (massa 720 u): λ = 2,52 pm. L'interferenza di molecole di questo tipo fu osservata da Arndt e colleghi nel 1999, a dimostrazione di onde di materia per oggetti molto più pesanti di un elettrone.
• Una palla da baseball da 0,145 kg a 40 m/s: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m, circa 10⁻¹⁹ delle dimensioni di un protone. Gli oggetti di tutti i giorni hanno lunghezze d'onda troppo piccole per mostrare qualsiasi comportamento ondulatorio.

Domande frequenti

Qual è la formula della lunghezza d'onda di de Broglie?

λ = h ÷ p, dove h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s e p è la quantità di moto della particella. Per una particella lenta p = mv, quindi λ = h ÷ (mv); per velocità relativistiche usa p = γmv.

Come si trova la lunghezza d'onda di un elettrone accelerato da una tensione?

L'elettrone acquista K = eV, e classicamente p = √(2mK), quindi λ = h ÷ √(2meV), ovvero circa 1,226 nm ÷ √V. A 150 V è 0,100 nm. Sopra circa 10 kV usa la forma relativistica, che questo calcolatore applica in modalità esatta.

Perché non possiamo vedere la lunghezza d'onda di una palla da baseball?

La sua quantità di moto è enorme rispetto a h, quindi la lunghezza d'onda è intorno a 10⁻³⁴ m, bilioni di bilioni di volte più piccola di qualsiasi cosa potrebbe diffrangere. Il comportamento ondulatorio richiede una lunghezza d'onda paragonabile alle dimensioni dell'ostacolo, cosa che non accade mai per gli oggetti di tutti i giorni.

Quando serve la formula relativistica?

Quando la velocità supera circa il 10% di quella della luce, che per un elettrone corrisponde a un'energia cinetica di circa 2,6 keV. Lì la lunghezza d'onda classica è già sbagliata di circa lo 0,5% se si dà la velocità, e l'errore cresce rapidamente: per un elettrone dato con la sua energia è del 4,8% a 100 keV, del 41% a 1 MeV e il doppio verso 3 MeV.

Tutte le particelle hanno una lunghezza d'onda di de Broglie?

Sì: elettroni, neutroni, atomi e molecole mostrano tutti interferenza. Gli oggetti più pesanti hanno lunghezze d'onda più corte alla stessa velocità, il che rende gli effetti più difficili da rilevare, ma l'interferenza è stata osservata con molecole di centinaia di atomi.

Qual è la differenza tra la lunghezza d'onda di un fotone e quella di una particella?

Entrambe seguono λ = h ÷ p. Un fotone non ha massa e viaggia sempre alla velocità c, quindi la sua energia è pc e λ = hc ÷ E. Una particella con massa può avere qualsiasi velocità inferiore a c, quindi a parità di energia ha una lunghezza d'onda maggiore di quella di un fotone con la stessa energia.