Calculadora de la longitud de onda de De Broglie

Resultados

Cómo usar la calculadora de la longitud de onda de De Broglie

1. 1. Elige la partícula. Las masas del electrón, el muón, el protón, el neutrón y la partícula alfa son los valores CODATA de 2022. Elige Otra partícula u objeto para escribir cualquier masa en kg, g o unidades de masa atómica.
2. 2. Indica lo que conoces. La velocidad (en m/s, km/h o como fracción de c), la energía cinética (de µeV a GeV o en julios), el momento lineal, o el voltaje de aceleración para una partícula cargada.
3. 3. Elige el método. Exacto usa la cinemática relativista y es válido a cualquier velocidad. Clásico usa p = mv y K = ½mv², que solo es preciso muy por debajo de la velocidad de la luz.
4. 4. Lee la longitud de onda. El resultado viene con el momento lineal, la energía, la velocidad, β y γ, el error de la fórmula clásica y una franja de escala que muestra dónde cae la longitud de onda entre un protón y la luz visible.

La relación de De Broglie

En su tesis doctoral de 1924, Louis de Broglie propuso que la materia tiene propiedades ondulatorias, con una longitud de onda λ = h ÷ p, donde h es la constante de Planck y p el momento lineal de la partícula. Es la misma relación que para un fotón, p = h ÷ λ, aplicada a partículas con masa. El experimento de Davisson–Germer de 1927, en el que electrones dispersados por un cristal de níquel formaron un patrón de difracción, la confirmó; De Broglie recibió el Premio Nobel de Física de 1929, y Davisson y G. P. Thomson compartieron el de 1937.

Para un electrón acelerado desde el reposo a través de V voltios, el resultado clásico es λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V, una regla práctica que da 0,1669 nm a 54 V. Es precisa en menos de un 1 % hasta unos 10 kV, pero a 100 kV la fórmula clásica sale un 4,8 % demasiado larga, y a energías mayores falla: la longitud de onda de un electrón relativista se reduce como 1/γ, y a energías muy altas tiende al valor del fotón, hc ÷ E.

Ejemplos desarrollados

• El electrón de Davisson–Germer, 54 V (el ejemplo inicial): K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s y λ = 166,9 pm = 0,1669 nm, aproximadamente la separación de los átomos en un cristal. Se mueve a 4,358 × 10⁶ m/s, el 1,45 % de c, así que la fórmula clásica se aparta solo un 0,003 %.
• Un microscopio electrónico a 100 kV: la longitud de onda exacta es 3,701 pm (γ = 1,196, β = 0,548). La fórmula clásica da 3,878 pm, un 4,8 % demasiado larga. Es mucho menor que un átomo, por eso los microscopios electrónicos pueden resolver átomos donde la luz, de unos 550 nm, no puede.
• Un neutrón térmico, 0,025 eV: λ = 0,1808 nm a 2,19 km/s, similar a las separaciones atómicas, por lo que la difracción de neutrones revela la estructura de los cristales.
• Una partícula alfa de 5 MeV: λ = 6,42 fm, parecida al tamaño de un núcleo atómico.
• Una molécula de C₆₀ a 220 m/s (masa 720 u): λ = 2,52 pm. Arndt y sus colegas observaron la interferencia de estas moléculas en 1999, lo que demuestra ondas de materia en objetos mucho más pesados que un electrón.
• Una pelota de béisbol de 0,145 kg a 40 m/s: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m, unas 10⁻¹⁹ veces el tamaño de un protón. Los objetos cotidianos tienen longitudes de onda demasiado pequeñas para mostrar ningún comportamiento ondulatorio.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la longitud de onda de De Broglie?

λ = h ÷ p, donde h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s y p es el momento lineal de la partícula. Para una partícula lenta p = mv, así que λ = h ÷ (mv); a velocidades relativistas usa p = γmv.

¿Cómo se halla la longitud de onda de un electrón acelerado por un voltaje?

El electrón gana K = eV, y clásicamente p = √(2mK), así que λ = h ÷ √(2meV), o unos 1,226 nm ÷ √V. A 150 V son 0,100 nm. Por encima de unos 10 kV usa la forma relativista, que esta calculadora aplica en su modo exacto.

¿Por qué no podemos ver la longitud de onda de una pelota de béisbol?

Su momento lineal es enorme comparado con h, así que la longitud de onda ronda los 10⁻³⁴ m, billones de billones de veces más pequeña que cualquier cosa en la que pudiera difractarse. El comportamiento ondulatorio necesita una longitud de onda comparable al tamaño del obstáculo, algo que nunca ocurre con los objetos cotidianos.

¿Cuándo necesito la fórmula relativista?

Cuando la velocidad supera aproximadamente el 10 % de la velocidad de la luz, que para un electrón equivale a una energía cinética de unos 2,6 keV. Allí la longitud de onda clásica ya se aparta alrededor de un 0,5 % si das la velocidad, y el error crece deprisa: si das la energía de un electrón, el error es de un 4,8 % a 100 keV, de un 41 % a 1 MeV y el doble cerca de 3 MeV.

¿Tienen todas las partículas una longitud de onda de De Broglie?

Sí: electrones, neutrones, átomos y moléculas muestran interferencia. Los objetos más pesados tienen longitudes de onda más cortas a la misma velocidad, lo que hace más difícil detectar los efectos, pero se ha observado interferencia con moléculas de cientos de átomos.

¿Cuál es la diferencia entre la longitud de onda de un fotón y la de una partícula?

Ambas cumplen λ = h ÷ p. Un fotón no tiene masa y siempre se mueve a c, así que su energía es pc y λ = hc ÷ E. Una partícula con masa puede tener cualquier velocidad por debajo de c, así que la misma energía da una longitud de onda mayor que la de un fotón con esa energía.