डी ब्रॉगली तरंगदैर्ध्य कैलकुलेटर

परिणाम

डी ब्रॉगली तरंगदैर्ध्य कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. कण चुनें। इलेक्ट्रॉन, म्यूऑन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और अल्फ़ा कण के द्रव्यमान 2022 CODATA मान हैं। किलोग्राम, ग्राम या परमाणु द्रव्यमान इकाइयों में कोई भी द्रव्यमान लिखने के लिए कोई और कण या वस्तु चुनें।
2. 2. बताएँ कि आपके पास क्या मान है। चाल (m/s या km/h में, या c के भिन्न के रूप में), गतिज ऊर्जा (µeV से GeV तक, या जूल में), संवेग, या आवेशित कण के लिए त्वरक वोल्टेज।
3. 3. विधि चुनें। सटीक आपेक्षिक गतिकी का उपयोग करती है और किसी भी चाल पर सही है। शास्त्रीय p = mv और K = ½mv² का उपयोग करती है, जो केवल प्रकाश की चाल से काफ़ी कम पर सटीक है।
4. 4. तरंगदैर्ध्य पढ़ें। परिणाम के साथ संवेग, ऊर्जा, चाल, β और γ, शास्त्रीय सूत्र की त्रुटि, और एक स्केल-पट्टी आती है जो दिखाती है कि तरंगदैर्ध्य प्रोटॉन और दृश्य प्रकाश के बीच कहाँ आती है।

डी ब्रॉगली संबंध

अपनी 1924 की डॉक्टरेट थीसिस में लुई डी ब्रॉगली ने प्रस्तावित किया कि द्रव्य के तरंग-गुण होते हैं, जिनकी तरंगदैर्ध्य λ = h ÷ p है, जहाँ h प्लांक स्थिरांक है और p कण का संवेग। यह वही संबंध है जो फ़ोटॉन के लिए है, p = h ÷ λ, जिसे द्रव्यमान वाले कणों पर लगाया गया है। 1927 का Davisson–Germer प्रयोग, जिसमें एक निकल क्रिस्टल से बिखरे इलेक्ट्रॉनों ने विवर्तन-प्रतिरूप बनाया, इसकी पुष्टि करता है; डी ब्रॉगली को 1929 का भौतिकी का नोबेल पुरस्कार मिला, और Davisson तथा G. P. Thomson ने 1937 का पुरस्कार साझा किया।

V वोल्ट से विराम से त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए शास्त्रीय परिणाम है λ = h ÷ √(2meV) = 1.2264 nm ÷ √V, एक सुविधाजनक नियम जो 54 V पर 0.1669 nm देता है। यह लगभग 10 kV तक 1% से कम त्रुटि देता है, पर 100 kV पर शास्त्रीय सूत्र 4.8% अधिक लंबा है, और उससे ऊँची ऊर्जा पर यह विफल हो जाता है: आपेक्षिक इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य 1/γ के अनुपात में घटती है, और बहुत ऊँची ऊर्जा पर फ़ोटॉन के मान hc ÷ E की ओर जाती है।

हल किए गए उदाहरण

• Davisson–Germer इलेक्ट्रॉन, 54 V (प्रारंभिक उदाहरण): K = 54 eV, p = 3.970 × 10⁻²⁴ kg·m/s और λ = 166.9 pm = 0.1669 nm, जो लगभग क्रिस्टल में परमाणुओं के बीच की दूरी है। यह 4.358 × 10⁶ m/s से चलता है, जो c का 1.45% है, इसलिए शास्त्रीय सूत्र केवल 0.003% दूर है।
• 100 kV पर इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी: सटीक तरंगदैर्ध्य 3.701 pm है (γ = 1.196, β = 0.548)। शास्त्रीय सूत्र 3.878 pm देता है, जो 4.8% अधिक है। यह एक परमाणु से कहीं छोटा है, इसीलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी परमाणुओं को विभेदित कर सकते हैं, जबकि लगभग 550 nm वाला प्रकाश ऐसा नहीं कर सकता।
• एक तापीय न्यूट्रॉन, 0.025 eV: 2.19 km/s पर λ = 0.1808 nm, जो परमाणु दूरियों से मेल खाती है, इसीलिए न्यूट्रॉन विवर्तन क्रिस्टल की संरचना प्रकट करता है।
• 5 MeV का अल्फ़ा कण: λ = 6.42 fm, जो एक परमाणु नाभिक के आकार जैसा है।
• 220 m/s पर C₆₀ अणु (द्रव्यमान 720 u): λ = 2.52 pm। ऐसे अणुओं का व्यतिकरण 1999 में Arndt और सहकर्मियों ने देखा, जो दिखाता है कि इलेक्ट्रॉन से कहीं भारी वस्तुओं के भी द्रव्य-तरंग होते हैं।
• 40 m/s पर 0.145 kg का बेसबॉल: λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m, जो प्रोटॉन के आकार का लगभग 10⁻¹⁹ गुना है। रोज़मर्रा की वस्तुओं की तरंगदैर्ध्य इतनी छोटी होती है कि उनमें कोई तरंग-व्यवहार दिखता ही नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

डी ब्रॉगली तरंगदैर्ध्य का सूत्र क्या है?

λ = h ÷ p, जहाँ h = 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s है और p कण का संवेग। धीमे कण के लिए p = mv, इसलिए λ = h ÷ (mv); आपेक्षिक चालों के लिए p = γmv लें।

वोल्टेज से त्वरित इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य कैसे निकालें?

इलेक्ट्रॉन K = eV प्राप्त करता है, और शास्त्रीय रूप से p = √(2mK), इसलिए λ = h ÷ √(2meV), या लगभग 1.226 nm ÷ √V। 150 V पर यह 0.100 nm है। लगभग 10 kV से ऊपर आपेक्षिक रूप लें, जिसे यह कैलकुलेटर अपने सटीक मोड में लागू करता है।

हम बेसबॉल की तरंगदैर्ध्य क्यों नहीं देख सकते?

उसका संवेग h की तुलना में बहुत बड़ा है, इसलिए तरंगदैर्ध्य लगभग 10⁻³⁴ m है, जो उन किसी भी चीज़ से खरबों-खरब गुना छोटी है जिनके चारों ओर वह विवर्तित हो सकती। तरंग-व्यवहार के लिए तरंगदैर्ध्य बाधा के आकार के बराबर होनी चाहिए, जो रोज़मर्रा की वस्तुओं के साथ कभी नहीं होता।

आपेक्षिक सूत्र की ज़रूरत कब होती है?

जब चाल प्रकाश की चाल के लगभग 10% से आगे निकल जाए, जो इलेक्ट्रॉन के लिए लगभग 2.6 keV की गतिज ऊर्जा है। वहाँ यदि आप चाल दें तो शास्त्रीय तरंगदैर्ध्य लगभग 0.5% गलत होती है, और त्रुटि तेज़ी से बढ़ती है: जब इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा दी गई हो, तो यह 100 keV पर 4.8%, 1 MeV पर 41%, और लगभग 3 MeV के पास दो गुना होती है।

क्या सभी कणों की डी ब्रॉगली तरंगदैर्ध्य होती है?

हाँ: इलेक्ट्रॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणु सभी व्यतिकरण दिखाते हैं। समान चाल पर भारी वस्तुओं की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है, जिससे प्रभाव पहचानना कठिन हो जाता है, पर सैकड़ों परमाणुओं वाले अणुओं के साथ भी व्यतिकरण देखा गया है।

फ़ोटॉन की तरंगदैर्ध्य और कण की तरंगदैर्ध्य में क्या अंतर है?

दोनों λ = h ÷ p का पालन करते हैं। फ़ोटॉन का द्रव्यमान नहीं होता और वह हमेशा c पर चलता है, इसलिए उसकी ऊर्जा pc है और λ = hc ÷ E। द्रव्यमान वाला कण c से कम किसी भी चाल से चल सकता है, इसलिए उतनी ही ऊर्जा पर उसकी तरंगदैर्ध्य उस फ़ोटॉन से लंबी होती है।