De-Broglie-Wellenlängen-Rechner

Ergebnisse

So verwenden Sie den De-Broglie-Wellenlängen-Rechner

1. 1. Wählen Sie das Teilchen. Die Massen von Elektron, Myon, Proton, Neutron und Alphateilchen sind die CODATA-Werte von 2022. Wählen Sie Anderes Teilchen oder Objekt, um eine beliebige Masse in kg, g oder atomaren Masseneinheiten einzugeben.
2. 2. Geben Sie an, was Sie wissen. Geschwindigkeit (in m/s, km/h oder als Bruchteil von c), kinetische Energie (von µeV bis GeV oder in Joule), Impuls oder die Beschleunigungsspannung für ein geladenes Teilchen.
3. 3. Wählen Sie die Methode. Exakt nutzt die relativistische Kinematik und ist bei jeder Geschwindigkeit richtig. Klassisch nutzt p = mv und K = ½mv², was nur weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit genau ist.
4. 4. Lesen Sie die Wellenlänge ab. Das Ergebnis kommt mit Impuls, Energie, Geschwindigkeit, β und γ, dem Fehler der klassischen Formel und einem Skalenband, das zeigt, wo die Wellenlänge zwischen einem Proton und sichtbarem Licht liegt.

Die de-Broglie-Beziehung

In seiner Doktorarbeit von 1924 schlug Louis de Broglie vor, dass Materie Welleneigenschaften besitzt, mit der Wellenlänge λ = h ÷ p, wobei h das Planck’sche Wirkungsquantum und p der Impuls des Teilchens ist. Es ist dieselbe Beziehung wie für ein Photon, p = h ÷ λ, angewandt auf Teilchen mit Masse. Das Davisson-Germer-Experiment von 1927, bei dem an einem Nickelkristall gestreute Elektronen ein Beugungsmuster bildeten, bestätigte sie; de Broglie erhielt 1929 den Nobelpreis für Physik, und Davisson und G. P. Thomson teilten sich den Preis von 1937.

Für ein Elektron, das aus der Ruhe durch V Volt beschleunigt wird, lautet das klassische Ergebnis λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V, eine praktische Regel, die bei 54 V 0,1669 nm ergibt. Sie ist bis etwa 10 kV auf unter 1 % genau, bei 100 kV ist die klassische Formel jedoch 4,8 % zu lang, und bei höheren Energien versagt sie: Die Wellenlänge eines relativistischen Elektrons schrumpft mit 1/γ und nähert sich bei sehr hoher Energie dem Photonenwert hc ÷ E.

Beispiele

• Das Davisson-Germer-Elektron bei 54 V (das Startbeispiel): K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s und λ = 166,9 pm = 0,1669 nm, etwa der Abstand der Atome in einem Kristall. Es bewegt sich mit 4,358 × 10⁶ m/s, 1,45 % von c, daher liegt die klassische Formel nur um 0,003 % daneben.
• Ein Elektronenmikroskop bei 100 kV: Die exakte Wellenlänge beträgt 3,701 pm (γ = 1,196, β = 0,548). Die klassische Formel ergibt 3,878 pm, 4,8 % zu lang. Das ist weit kleiner als ein Atom, weshalb Elektronenmikroskope Atome auflösen können, was Licht mit etwa 550 nm nicht kann.
• Ein thermisches Neutron, 0,025 eV: λ = 0,1808 nm bei 2,19 km/s, passend zu atomaren Abständen, weshalb die Neutronenbeugung Kristallstrukturen sichtbar macht.
• Ein Alphateilchen mit 5 MeV: λ = 6,42 fm, vergleichbar mit der Größe eines Atomkerns.
• Ein C₆₀-Molekül bei 220 m/s (Masse 720 u): λ = 2,52 pm. Interferenz solcher Moleküle wurde 1999 von Arndt und Kollegen beobachtet und zeigte Materiewellen bei Objekten, die weit schwerer sind als ein Elektron.
• Ein Baseball mit 0,145 kg bei 40 m/s: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m, etwa 10⁻¹⁹ der Größe eines Protons. Alltagsgegenstände haben viel zu kleine Wellenlängen, um irgendein Wellenverhalten zu zeigen.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die de-Broglie-Wellenlänge?

λ = h ÷ p, wobei h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s ist und p der Impuls des Teilchens. Für ein langsames Teilchen gilt p = mv, also λ = h ÷ (mv); bei relativistischen Geschwindigkeiten verwenden Sie p = γmv.

Wie findet man die Wellenlänge eines Elektrons, das durch eine Spannung beschleunigt wurde?

Das Elektron gewinnt K = eV, und klassisch gilt p = √(2mK), also λ = h ÷ √(2meV), oder etwa 1,226 nm ÷ √V. Bei 150 V sind das 0,100 nm. Oberhalb von etwa 10 kV verwenden Sie die relativistische Form, die dieser Rechner im exakten Modus anwendet.

Warum können wir die Wellenlänge eines Baseballs nicht sehen?

Sein Impuls ist im Vergleich zu h enorm, daher liegt die Wellenlänge bei etwa 10⁻³⁴ m, Billionen Mal kleiner als alles, woran sie sich beugen könnte. Wellenverhalten erfordert eine Wellenlänge, die mit der Größe des Hindernisses vergleichbar ist, und das passiert bei Alltagsgegenständen nie.

Wann brauche ich die relativistische Formel?

Sobald die Geschwindigkeit etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit überschreitet, was bei einem Elektron einer kinetischen Energie von etwa 2,6 keV entspricht. Dort liegt die klassische Wellenlänge bei vorgegebener Geschwindigkeit bereits um etwa 0,5 % daneben, und der Fehler wächst schnell: Bei vorgegebener Energie eines Elektrons beträgt er 4,8 % bei 100 keV, 41 % bei 1 MeV und nahe 3 MeV das Doppelte.

Haben alle Teilchen eine de-Broglie-Wellenlänge?

Ja: Elektronen, Neutronen, Atome und Moleküle zeigen alle Interferenz. Schwerere Objekte haben bei gleicher Geschwindigkeit kürzere Wellenlängen, was die Effekte schwerer nachweisbar macht, doch Interferenz wurde schon mit Molekülen aus Hunderten von Atomen beobachtet.

Worin unterscheidet sich die Wellenlänge eines Photons von der eines Teilchens?

Beide gehorchen λ = h ÷ p. Ein Photon hat keine Masse und bewegt sich immer mit c, daher ist seine Energie pc und λ = hc ÷ E. Ein Teilchen mit Masse kann jede Geschwindigkeit unterhalb von c haben, daher ergibt dieselbe Energie eine längere Wellenlänge, als ein Photon dieser Energie hätte.