德布罗意波长计算器
每一个运动的粒子都有波长,λ = h ÷ p。选择电子、质子、中子、α 粒子或您自己的质量,输入其速度、动能、动量或加速电压,即可得到波长,并将精确的相对论结果与经典近似并列显示。刻度条将其与质子、原子和可见光作比较。免费,无需注册。
结果
166.9 pm
德布罗意波长(λ)
3.97 × 10⁻²⁴ kg·m/s
动量(p)
54 eV
动能
8.652 × 10⁻¹⁸ J
以焦耳表示的动能
4.358 × 10⁶ m/s
速度
0.01454
以 c 的分数表示的速度(β)
1.0001
洛伦兹因子(γ)
+0.00264%
经典公式的误差
计算过程
- λ = h ÷ p = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s ÷ 3.97 × 10⁻²⁴ kg·m/s = 166.9 pm
如何使用德布罗意波长计算器
- 1. 选择粒子。 电子、μ 子、质子、中子和 α 粒子的质量采用 2022 年 CODATA 数值。选择另一种粒子或物体,即可用 kg、g 或原子质量单位输入任意质量。
- 2. 说明您已知的量。 速度(以 m/s、km/h 或 c 的分数表示)、动能(从 µeV 到 GeV,或以焦耳表示)、动量,或带电粒子的加速电压。
- 3. 选择方法。 精确采用相对论运动学,在任何速度下都正确。经典采用 p = mv 与 K = ½mv²,仅在远低于光速时才准确。
- 4. 读取波长。 结果附有动量、能量、速度、β 与 γ、经典公式的误差,以及一条刻度条,显示波长在质子与可见光之间的位置。
德布罗意关系
路易·德布罗意在 1924 年的博士论文中提出,物质具有波动性,其波长为 λ = h ÷ p,其中 h 为普朗克常数,p 为粒子的动量。这与光子的关系相同,即 p = h ÷ λ,只是应用于有质量的粒子。1927 年的戴维孙–革末实验中,电子从镍晶体散射后形成了衍射图样,证实了这一关系;德布罗意于 1929 年获得诺贝尔物理学奖,戴维孙与 G. P. 汤姆孙共享了 1937 年的诺贝尔物理学奖。
| 已知量 | 经典 | 精确(相对论) |
|---|---|---|
| 速度 v | p = mv | p = γmv,其中 γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²) |
| 动能 K | p = √(2mK) | pc = √(K² + 2Kmc²) |
| 加速电压 V | K = qV,然后同上 | K = qV,然后同上 |
| 波长 | λ = h ÷ p | λ = h ÷ p |
对于从静止经 V 伏电压加速的电子,经典结果为 λ = h ÷ √(2meV) = 1.2264 nm ÷ √V,这是一个方便的规则,在 54 V 时得到 0.1669 nm。在 10 kV 以内,其误差不到 1%;但在 100 kV 时,经典公式会使结果偏长 4.8%,能量再高时它便失效:相对论电子的波长按 1/γ 缩短,在极高能量下趋近于光子的值 hc ÷ E。
示例
- 戴维孙–革末电子,54 V(开篇示例):K = 54 eV,p = 3.970 × 10⁻²⁴ kg·m/s,λ = 166.9 pm = 0.1669 nm,与晶体中原子间距大致相当。它的速度为 4.358 × 10⁶ m/s,即 c 的 1.45%,因此经典公式的误差仅为 0.003%。
- 100 kV 的电子显微镜: 精确波长为 3.701 pm(γ = 1.196,β = 0.548)。经典公式给出 3.878 pm,偏长 4.8%。这远小于原子,因此电子显微镜能够分辨原子,而约 550 nm 的光则做不到。
- 热中子,0.025 eV: λ = 0.1808 nm,速度为 2.19 km/s,与原子间距相当,这正是中子衍射能够揭示晶体结构的原因。
- 5 MeV 的 α 粒子: λ = 6.42 fm,与原子核的大小相近。
- 速度为 220 m/s 的 C₆₀ 分子(质量 720 u):λ = 2.52 pm。Arndt 及其同事于 1999 年观察到了此类分子的干涉,表明即使对于比电子重得多的物体,也存在物质波。
- 0.145 kg 的棒球,速度 40 m/s: λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m,约为质子大小的 10⁻¹⁹。日常物体的波长小得多,不会表现出任何可见的波动性。
波长说明了什么
衍射与干涉等波动效应出现在波长与障碍物尺寸或狭缝间距相当时。在数十电子伏特下,电子的波长接近原子间距,因此晶体能使其衍射;棒球的波长与它所遇到的一切相比都小得多,因此表现为纯粹的粒子。德布罗意波长并不是粒子本身的物理长度。
常见问题
- 德布罗意波长公式是什么?
- λ = h ÷ p,其中 h = 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s,p 为粒子的动量。对于慢速粒子,p = mv,因此 λ = h ÷ (mv);在相对论速度下则使用 p = γmv。
- 如何求经电压加速后电子的波长?
- 电子获得 K = eV,经典情况下 p = √(2mK),因此 λ = h ÷ √(2meV),约为 1.226 nm ÷ √V。在 150 V 时为 0.100 nm。在约 10 kV 以上,应使用相对论形式,本计算器的精确模式即采用此式。
- 为什么我们看不到棒球的波长?
- 它的动量相对于 h 非常大,因此波长约为 10⁻³⁴ m,比它可能发生衍射的任何物体都要小万亿亿倍。波动行为需要波长与障碍物尺寸相当,而日常物体从不满足这一条件。
- 何时需要相对论公式?
- 速度超过光速约 10% 时,对电子而言相当于动能约 2.6 keV。此时若给定速度,经典波长的偏差已约为 0.5%;若给定能量,误差增长很快:100 keV 时为 4.8%,1 MeV 时为 41%,在 3 MeV 附近经典结果约为精确值的两倍。
- 所有粒子都有德布罗意波长吗?
- 是的:电子、中子、原子和分子都会表现出干涉。对于相同的速度,较重的物体波长更短,使效应更难察觉,但已在由数百个原子组成的分子上观察到了干涉。
- 光子的波长与粒子的波长有何区别?
- 两者都遵循 λ = h ÷ p。光子没有质量,总以光速 c 运动,因此其能量为 pc,λ = hc ÷ E。有质量的粒子可以具有任何低于 c 的速度,因此相同能量会给出比同能量光子更长的波长。