حاسبة طول موجة دي برولي

النتائج

كيفية استخدام حاسبة طول موجة دي برولي

1. 1. اختر الجسيم. كتل الإلكترون والميون والبروتون والنيوترون وجسيم ألفا هي قيم CODATA لعام 2022. اختر جسيمًا أو جسمًا آخر لكتابة أي كتلة بالكيلوغرام أو الغرام أو وحدات الكتلة الذرية.
2. 2. أخبر الحاسبة بما تعرفه. السرعة (بالمتر في الثانية أو الكيلومتر في الساعة أو كنسبة من c)، أو الطاقة الحركية (من الميكروإلكترون فولت إلى الغيغاإلكترون فولت أو الجول)، أو الزخم، أو فولتية التسريع لجسيم مشحون.
3. 3. اختر الطريقة. الدقيقة تستخدم الحركية النسبية وتكون صحيحة عند أي سرعة. الكلاسيكية تستخدم p = mv وK = ½mv²، وهي دقيقة فقط عند سرعات أقل بكثير من سرعة الضوء.
4. 4. اقرأ طول الموجة. تأتي النتيجة مع الزخم والطاقة والسرعة وβ وγ، وخطأ الصيغة الكلاسيكية، وشريط مقياس يبيّن أين يقع طول الموجة بين البروتون والضوء المرئي.

علاقة دي برولي

اقترح لويس دي برولي في أطروحته للدكتوراه عام 1924 أن للمادة خصائص موجية، بطول موجة λ = h ÷ p، حيث h ثابت بلانك وp زخم الجسيم. وهي العلاقة نفسها التي للفوتون، p = h ÷ λ، مطبّقةً على جسيمات لها كتلة. أكدتها تجربة Davisson–Germer عام 1927، حين شكّلت الإلكترونات المبعثرة من بلورة نيكل نمط حيود. وحصل دي برولي على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1929، وتقاسمها Davisson وG. P. Thomson عام 1937.

لإلكترون مُسرَّع من السكون عبر V فولت، النتيجة الكلاسيكية هي λ = h ÷ √(2meV) = 1.2264 nm ÷ √V، وهي قاعدة مفيدة تعطي 0.1669 nm عند 54 V. وهي دقيقة بأقل من 1% حتى نحو 10 kV، لكنها عند 100 kV أطول من الحقيقة بنسبة 4.8%، وعند الطاقات الأعلى تفشل: فطول موجة الإلكترون النسبي يتقلص بمقدار 1/γ، ويميل عند الطاقة العالية جدًا إلى قيمة الفوتون hc ÷ E.

أمثلة تطبيقية

• إلكترون Davisson–Germer عند 54 V (المثال الافتتاحي): K = 54 eV، وp = 3.970 × 10⁻²⁴ kg·m/s، وλ = 166.9 pm = 0.1669 nm، أي تقريبًا المسافة بين الذرات في البلورة. يتحرك بسرعة 4.358 × 10⁶ m/s، أي 1.45% من c، لذا لا تختلف الصيغة الكلاسيكية إلا بمقدار 0.003% فقط.
• مجهر إلكتروني عند 100 kV: طول الموجة الدقيق هو 3.701 pm (γ = 1.196، β = 0.548). أما الصيغة الكلاسيكية فتعطي 3.878 pm، أي أطول بنسبة 4.8%. وهذا الطول أصغر بكثير من الذرة، ولهذا تستطيع المجاهر الإلكترونية تمييز الذرات حيث لا يستطيع الضوء، الذي طوله نحو 550 nm، ذلك.
• نيوترون حراري، 0.025 eV: λ = 0.1808 nm عند 2.19 km/s، وهو يطابق المسافات الذرية، ولهذا يكشف حيود النيوترونات بنية البلورات.
• جسيم ألفا بطاقة 5 MeV: λ = 6.42 fm، وهو قريب من حجم النواة الذرية.
• جزيء C₆₀ بسرعة 220 m/s (كتلته 720 u): λ = 2.52 pm. وقد رصد Arndt وزملاؤه تداخل جزيئات كهذه عام 1999، فأثبتوا الموجات المادية لأجسام أثقل بكثير من الإلكترون.
• كرة بيسبول كتلتها 0.145 kg بسرعة 40 m/s: λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m، أي نحو 10⁻¹⁹ من حجم البروتون. للأجسام اليومية أطوال موجية صغيرة جدًا فلا تُظهر أي سلوك موجي.

الأسئلة الشائعة

ما صيغة طول موجة دي برولي؟

λ = h ÷ p، حيث h = 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s وp زخم الجسيم. وللجسيم البطيء p = mv، إذن λ = h ÷ (mv)؛ وعند السرعات النسبية استخدم p = γmv.

كيف أجد طول موجة إلكترون مُسرَّع بفولتية؟

يكتسب الإلكترون K = eV، وتكون p = √(2mK) في الفيزياء الكلاسيكية، إذن λ = h ÷ √(2meV)، أو نحو 1.226 nm ÷ √V. عند 150 V تكون النتيجة 0.100 nm. وفوق نحو 10 kV استخدم الصيغة النسبية، وهي ما تطبّقه الحاسبة في وضعها الدقيق.

لماذا لا نرى طول موجة كرة البيسبول؟

زخمها هائل مقارنةً بـ h، فيكون طول موجتها نحو 10⁻³⁴ m، أي أصغر بتريليونات التريليونات من المرات من أي شيء قد تحيد عنه الموجة. والسلوك الموجي يحتاج إلى طول موجة قريب من حجم العائق، وهذا لا يحدث أبدًا للأجسام اليومية.

متى أحتاج إلى الصيغة النسبية؟

حين تتجاوز السرعة نحو 10% من سرعة الضوء، وهذا يعني للإلكترون طاقة حركية نحو 2.6 keV. عندها يختلف طول الموجة الكلاسيكي بنحو 0.5% إذا أعطيت السرعة، ويكبر الخطأ بسرعة: فللإلكترون المعطى طاقته يبلغ 4.8% عند 100 keV، و41% عند 1 MeV، ويبلغ الضعف تقريبًا قرب 3 MeV.

هل لكل الجسيمات طول موجة دي برولي؟

نعم: الإلكترونات والنيوترونات والذرات والجزيئات كلها تُظهر التداخل. والأجسام الأثقل لها أطوال موجية أقصر عند السرعة نفسها، مما يجعل الظواهر أصعب في الرصد، لكن التداخل شوهد مع جزيئات تضم مئات الذرات.

ما الفرق بين طول موجة الفوتون وطول موجة الجسيم؟

كلاهما يخضع لـ λ = h ÷ p. فالفوتون لا كتلة له ويتحرك دائمًا بسرعة c، لذا طاقته pc وλ = hc ÷ E. والجسيم الذي له كتلة يمكن أن تكون له أي سرعة أقل من c، فالطاقة نفسها تعطيه طول موجة أطول مما يعطيه فوتون بالطاقة ذاتها.