Calculateur de longueur d'onde de de Broglie

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Comment utiliser le calculateur de longueur d'onde de de Broglie

1. 1. Choisissez la particule. Les masses de l'électron, du muon, du proton, du neutron et de la particule alpha sont les valeurs CODATA 2022. Choisissez Une autre particule ou un autre objet pour saisir une masse quelconque en kg, g ou unités de masse atomique.
2. 2. Indiquez ce que vous connaissez. La vitesse (en m/s, km/h ou en fraction de c), l'énergie cinétique (de µeV à GeV, ou en joules), la quantité de mouvement, ou la tension d'accélération pour une particule chargée.
3. 3. Choisissez la méthode. Exacte utilise la cinématique relativiste et convient à toute vitesse. Classique utilise p = mv et K = ½mv², qui ne sont précis que loin en dessous de la vitesse de la lumière.
4. 4. Lisez la longueur d'onde. Le résultat s'accompagne de la quantité de mouvement, de l'énergie, de la vitesse, de β et de γ, de l'erreur de la formule classique, et d'une échelle indiquant où la longueur d'onde se situe entre celle d'un proton et celle de la lumière visible.

La relation de de Broglie

Dans sa thèse de doctorat de 1924, Louis de Broglie a proposé que la matière ait des propriétés ondulatoires, avec une longueur d'onde λ = h ÷ p, où h est la constante de Planck et p la quantité de mouvement de la particule. C'est la même relation que pour le photon, p = h ÷ λ, appliquée aux particules dotées de masse. L'expérience de Davisson et Germer de 1927, au cours de laquelle des électrons diffusés par un cristal de nickel ont formé une figure de diffraction, l'a confirmée ; de Broglie a reçu le prix Nobel de physique en 1929, et Davisson et G. P. Thomson se sont partagé celui de 1937.

Pour un électron accéléré depuis le repos sous V volts, le résultat classique est λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V, une règle pratique qui donne 0,1669 nm à 54 V. Elle est exacte à moins de 1 % jusqu'à environ 10 kV, mais à 100 kV la formule classique est trop longue de 4,8 %, et à plus haute énergie elle échoue : la longueur d'onde d'un électron relativiste diminue comme 1/γ et tend, à très haute énergie, vers la valeur du photon hc ÷ E.

Exemples détaillés

• L'électron de Davisson–Germer, 54 V (l'exemple de départ) : K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s et λ = 166,9 pm = 0,1669 nm, à peu près l'écart entre les atomes d'un cristal. Il se déplace à 4,358 × 10⁶ m/s, soit 1,45 % de c, si bien que la formule classique n'est fausse que de 0,003 %.
• Un microscope électronique à 100 kV : la longueur d'onde exacte est de 3,701 pm (γ = 1,196, β = 0,548). La formule classique donne 3,878 pm, trop long de 4,8 %. C'est bien plus petit qu'un atome, ce qui explique que les microscopes électroniques puissent résoudre les atomes là où la lumière, d'environ 550 nm, ne le peut pas.
• Un neutron thermique, 0,025 eV : λ = 0,1808 nm à 2,19 km/s, du même ordre que les distances entre atomes, ce qui explique que la diffraction des neutrons révèle la structure des cristaux.
• Une particule alpha de 5 MeV : λ = 6,42 fm, de l'ordre de la taille d'un noyau atomique.
• Une molécule de C₆₀ à 220 m/s (masse 720 u) : λ = 2,52 pm. Des interférences de telles molécules ont été observées par Arndt et ses collègues en 1999, ce qui montre des ondes de matière pour des objets bien plus lourds qu'un électron.
• Une balle de baseball de 0,145 kg à 40 m/s : λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m, environ 10⁻¹⁹ fois la taille d'un proton. Les objets courants ont des longueurs d'onde bien trop petites pour montrer le moindre comportement ondulatoire.

Questions fréquentes

Quelle est la formule de la longueur d'onde de de Broglie ?

λ = h ÷ p, où h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s et p est la quantité de mouvement de la particule. Pour une particule lente, p = mv, donc λ = h ÷ (mv) ; pour des vitesses relativistes, utilisez p = γmv.

Comment trouver la longueur d'onde d'un électron accéléré par une tension ?

L'électron gagne K = eV, et p = √(2mK) en classique, donc λ = h ÷ √(2meV), soit environ 1,226 nm ÷ √V. À 150 V, cela donne 0,100 nm. Au-delà d'environ 10 kV, utilisez la forme relativiste, que ce calculateur applique en mode exact.

Pourquoi ne voit-on pas la longueur d'onde d'une balle de baseball ?

Sa quantité de mouvement est énorme par rapport à h, si bien que sa longueur d'onde est de l'ordre de 10⁻³⁴ m, un facteur de l'ordre de 10²⁴ inférieur à tout ce qui pourrait la diffracter. Un comportement ondulatoire exige une longueur d'onde comparable à la taille de l'obstacle, ce qui n'arrive jamais avec les objets courants.

Quand faut-il la formule relativiste ?

Dès que la vitesse dépasse environ 10 % de celle de la lumière, soit pour un électron une énergie cinétique d'environ 2,6 keV. Là, la longueur d'onde classique est déjà fausse d'environ 0,5 % si l'on donne la vitesse, et l'erreur croît vite : pour un électron dont on donne l'énergie, elle est de 4,8 % à 100 keV, de 41 % à 1 MeV, et elle atteint un facteur deux vers 3 MeV.

Toutes les particules ont-elles une longueur d'onde de de Broglie ?

Oui : les électrons, les neutrons, les atomes et les molécules présentent tous des interférences. À vitesse égale, les objets plus lourds ont des longueurs d'onde plus courtes, ce qui rend les effets plus difficiles à détecter, mais des interférences ont été observées avec des molécules de plusieurs centaines d'atomes.

Quelle est la différence entre la longueur d'onde d'un photon et celle d'une particule ?

Les deux obéissent à λ = h ÷ p. Un photon n'a pas de masse et se déplace toujours à c, si bien que son énergie vaut pc et que λ = hc ÷ E. Une particule dotée de masse peut avoir toute vitesse inférieure à c, si bien qu'à énergie égale elle a une longueur d'onde plus grande que celle d'un photon de même énergie.