ド・ブロイ波長計算ツール
動いているすべての粒子は波長を持ち、λ = h ÷ p で表されます。電子、ミューオン、陽子、中性子、α粒子、または自分で決めた質量を選び、速さ、運動エネルギー、運動量、加速電圧のいずれかを入力すると、波長が求まります。厳密な相対論的結果と古典的近似を並べて表示し、目盛りのストリップで陽子、原子、可視光と比較できます。無料、登録不要。
結果
166.9 pm
ド・ブロイ波長（λ）
3.97 × 10⁻²⁴ kg·m/s
運動量（p）
54 eV
運動エネルギー
8.652 × 10⁻¹⁸ J
ジュール単位の運動エネルギー
4.358 × 10⁶ m/s
速さ
0.01454
光速に対する速さの割合（β）
1.0001
ローレンツ因子（γ）
+0.00264%
古典式の誤差
計算過程
- λ = h ÷ p = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s ÷ 3.97 × 10⁻²⁴ kg·m/s = 166.9 pm
ド・ブロイ波長計算ツールの使い方
- 1. 粒子を選ぶ。 電子、ミューオン、陽子、中性子、α粒子の質量は、2022年のCODATA値です。その他の粒子または物体を選ぶと、kg、g、または原子質量単位で任意の質量を入力できます。
- 2. 既知の量を入力する。 速さ（m/s、km/h、または光速 c に対する割合）、運動エネルギー（µeVからGeVまたはジュール）、運動量、または荷電粒子の加速電圧を入力します。
- 3. 方法を選ぶ。 厳密は相対論的運動学を使い、どの速さでも正確です。古典は p = mv と K = ½mv² を使い、光速よりずっと遅い場合にのみ正確です。
- 4. 波長を読み取る。 結果には、運動量、エネルギー、速さ、β、γ、古典式の誤差、そして陽子と可視光の間のどこに波長が位置するかを示す目盛りのストリップが表示されます。
ド・ブロイの関係式
1924年の博士論文で、ルイ・ド・ブロイは、物質も波の性質を持ち、その波長は λ = h ÷ p で表されると提案しました。h はプランク定数、p は粒子の運動量です。これは光子について知られている p = h ÷ λ と同じ関係を、質量を持つ粒子に当てはめたものです。1927年のデイヴィソン＝ジャーマーの実験では、ニッケル結晶から散乱された電子が回折パターンを作り、これが確認されました。ド・ブロイは1929年にノーベル物理学賞を受賞し、デイヴィソンとG. P. トムソンは1937年の賞を分け合いました。
| 与えられた量 | 古典 | 厳密（相対論的） |
|---|---|---|
| 速さ v | p = mv | p = γmv、γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²) |
| 運動エネルギー K | p = √(2mK) | pc = √(K² + 2Kmc²) |
| 加速電圧 V | K = qV、その後は上と同じ | K = qV、その後は上と同じ |
| 波長 | λ = h ÷ p | λ = h ÷ p |
静止状態から V ボルトで加速された電子について、古典的な結果は λ = h ÷ √(2meV) = 1.2264 nm ÷ √V です。これは便利な規則で、54 Vでは 0.1669 nm になります。約10 kVまでは誤差が1%未満ですが、100 kVでは古典式は4.8%長くなり、さらに高いエネルギーでは成り立ちません。相対論的な電子の波長は 1/γ に従って縮み、非常に高いエネルギーでは光子の値 hc ÷ E に近づきます。
具体例
- デイヴィソン＝ジャーマーの電子、54 V（最初の例）：K = 54 eV、p = 3.970 × 10⁻²⁴ kg·m/s、λ = 166.9 pm = 0.1669 nm で、これは結晶中の原子の間隔とほぼ同じです。速さは 4.358 × 10⁶ m/s、光速の1.45%で、古典式の誤差はわずか0.003%です。
- 100 kVの電子顕微鏡：厳密な波長は 3.701 pm（γ = 1.196、β = 0.548）です。古典式では 3.878 pm となり、4.8%長くなります。これは原子よりずっと小さく、そのため電子顕微鏡は、約550 nmの光では分解できない原子を分解できるのです。
- 熱中性子、0.025 eV：速さ 2.19 km/s で、λ = 0.1808 nm です。原子の間隔と一致するため、中性子回折で結晶構造がわかるのです。
- 5 MeVのα粒子：λ = 6.42 fm で、原子核の大きさに近い値です。
- 速さ 220 m/sのC₆₀分子（質量 720 u）：λ = 2.52 pm です。このような分子の干渉は、1999年にArndtらによって観測され、電子よりはるかに重い物体にも物質波があることが示されました。
- 速さ 40 m/sの、質量0.145 kgの野球のボール：λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m で、陽子の大きさのおよそ10⁻¹⁹倍です。日常の物体の波長は、波としての振る舞いを示すにはあまりに小さすぎます。
波長が示すもの
回折や干渉のような波の効果は、波長が障害物の大きさやスリットの間隔に匹敵するときに現れます。数十 eV の電子の波長は原子間隔に近いので、結晶で回折されます。野球のボールの波長は、出会うあらゆるものに比べてあまりに小さいため、純粋な粒子として振る舞います。ド・ブロイ波長は、粒子そのものの物理的な長さではありません。
よくある質問
- ド・ブロイ波長の公式は何ですか？
- λ = h ÷ p です。ここで h = 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s、p は粒子の運動量です。遅い粒子では p = mv なので λ = h ÷ (mv) です。相対論的な速さでは p = γmv を使います。
- 電圧で加速された電子の波長は、どう求めますか？
- 電子は K = eV のエネルギーを得ます。古典的には p = √(2mK) なので、λ = h ÷ √(2meV)、すなわち約 1.226 nm ÷ √V です。150 Vでは 0.100 nm です。およそ10 kVを超えたら相対論的な式を使いますが、このツールは厳密モードでそれを適用します。
- 野球のボールの波長が見えないのはなぜですか？
- 運動量が h に比べてとても大きいため、波長は 10⁻³⁴ m 程度になり、回折させられるどんなものよりも何兆の何兆倍も小さくなります。波としての振る舞いには、障害物の大きさに匹敵する波長が必要ですが、日常の物体ではそれが起きることはありません。
- 相対論の式はいつ必要ですか？
- 速さが光速の約10%を超えたときです。電子の場合、その運動エネルギーは約2.6 keVです。速さを与えた場合、古典的な波長はそこで既に約0.5%ずれており、そのずれは急速に大きくなります。電子をエネルギーで与える場合、100 keVで4.8%、1 MeVで41%、約3 MeVで2倍になります。
- すべての粒子にド・ブロイ波長はありますか？
- はい。電子、中性子、原子、分子はすべて干渉を示します。同じ速さなら、重い物体ほど波長は短くなるため、効果は検出しにくくなりますが、数百個の原子からなる分子でも干渉は観測されています。
- 光子の波長と粒子の波長の違いは何ですか？
- どちらも λ = h ÷ p に従います。光子は質量がなく、常に光速 c で動くので、そのエネルギーは pc で、λ = hc ÷ E となります。質量を持つ粒子は c より遅い任意の速さを持てるため、同じエネルギーなら、同じエネルギーの光子よりも波長が長くなります。