Calculadora de comprimento de onda de De Broglie

Resultados

Como usar a calculadora de comprimento de onda de De Broglie

1. 1. Escolha a partícula. As massas do elétron, do múon, do próton, do nêutron e da partícula alfa são os valores CODATA de 2022. Escolha Outra partícula ou objeto para digitar qualquer massa em kg, g ou unidades de massa atômica.
2. 2. Informe o que você sabe. Velocidade (em m/s, km/h ou como fração de c), energia cinética (de µeV a GeV ou em joules), momento linear, ou a tensão de aceleração para uma partícula carregada.
3. 3. Escolha o método. Exato usa a cinemática relativística e vale para qualquer velocidade. Clássico usa p = mv e K = ½mv², que só é precisa bem abaixo da velocidade da luz.
4. 4. Leia o comprimento de onda. O resultado vem com momento linear, energia, velocidade, β e γ, o erro da fórmula clássica e uma faixa de escala mostrando onde o comprimento de onda cai entre um próton e a luz visível.

A relação de De Broglie

Em sua tese de doutorado de 1924, Louis de Broglie propôs que a matéria tem propriedades ondulatórias, com comprimento de onda λ = h ÷ p, em que h é a constante de Planck e p o momento linear da partícula. É a mesma relação válida para o fóton, p = h ÷ λ, aplicada a partículas com massa. O experimento de Davisson–Germer, de 1927, em que elétrons espalhados por um cristal de níquel formaram um padrão de difração, a confirmou; de Broglie recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1929, e Davisson e G. P. Thomson dividiram o prêmio de 1937.

Para um elétron acelerado a partir do repouso por V volts, o resultado clássico é λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V, uma regra prática que dá 0,1669 nm em 54 V. Ela tem erro inferior a 1% até cerca de 10 kV, mas em 100 kV a fórmula clássica fica 4,8% longa, e em energias mais altas ela falha: o comprimento de onda de um elétron relativístico encolhe como 1/γ e, em energia muito alta, tende ao valor do fóton, hc ÷ E.

Exemplos práticos

• O elétron de Davisson–Germer, 54 V (o exemplo inicial): K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s e λ = 166,9 pm = 0,1669 nm, cerca do espaçamento dos átomos em um cristal. Ele se move a 4,358 × 10⁶ m/s, 1,45% de c, então a fórmula clássica erra em apenas 0,003%.
• Um microscópio eletrônico a 100 kV: o comprimento de onda exato é 3,701 pm (γ = 1,196, β = 0,548). A fórmula clássica dá 3,878 pm, 4,8% longa. Isso é bem menor que um átomo, e é por isso que microscópios eletrônicos conseguem resolver átomos onde a luz, de cerca de 550 nm, não consegue.
• Um nêutron térmico, 0,025 eV: λ = 0,1808 nm a 2,19 km/s, compatível com espaçamentos atômicos, e por isso a difração de nêutrons revela a estrutura de cristais.
• Uma partícula alfa de 5 MeV: λ = 6,42 fm, semelhante ao tamanho de um núcleo atômico.
• Uma molécula de C₆₀ a 220 m/s (massa 720 u): λ = 2,52 pm. A interferência dessas moléculas foi observada por Arndt e colegas em 1999, mostrando ondas de matéria para objetos muito mais pesados que um elétron.
• Uma bola de beisebol de 0,145 kg a 40 m/s: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m, cerca de 10⁻¹⁹ do tamanho de um próton. Objetos do cotidiano têm comprimentos de onda pequenos demais para mostrar qualquer comportamento ondulatório.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula do comprimento de onda de De Broglie?

λ = h ÷ p, em que h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s e p é o momento linear da partícula. Para uma partícula lenta, p = mv, então λ = h ÷ (mv); para velocidades relativísticas use p = γmv.

Como encontrar o comprimento de onda de um elétron acelerado por uma tensão?

O elétron ganha K = eV, e p = √(2mK) classicamente, então λ = h ÷ √(2meV), ou cerca de 1,226 nm ÷ √V. Em 150 V isso dá 0,100 nm. Acima de cerca de 10 kV use a forma relativística, que esta calculadora aplica no modo exato.

Por que não conseguimos ver o comprimento de onda de uma bola de beisebol?

O momento dela é enorme comparado com h, então o comprimento de onda fica em torno de 10⁻³⁴ m, trilhões de trilhões de vezes menor que qualquer coisa em volta na qual ela poderia difratar. O comportamento ondulatório exige um comprimento de onda comparável ao tamanho do obstáculo, o que nunca acontece com objetos do cotidiano.

Quando preciso da fórmula relativística?

Quando a velocidade passa de cerca de 10% da velocidade da luz, o que, para um elétron, corresponde a uma energia cinética de cerca de 2,6 keV. Ali o comprimento de onda clássico já está errado em cerca de 0,5% se você informar a velocidade, e o erro cresce rápido: para um elétron dado pela energia, é 4,8% em 100 keV, 41% em 1 MeV e um fator de dois perto de 3 MeV.

Todas as partículas têm comprimento de onda de De Broglie?

Sim: elétrons, nêutrons, átomos e moléculas exibem interferência. Objetos mais pesados têm comprimentos de onda menores para a mesma velocidade, o que torna os efeitos mais difíceis de detectar, mas a interferência já foi observada com moléculas de centenas de átomos.

Qual é a diferença entre o comprimento de onda de um fóton e o de uma partícula?

Ambos obedecem a λ = h ÷ p. Um fóton não tem massa e sempre se move a c, então sua energia é pc e λ = hc ÷ E. Uma partícula com massa pode ter qualquer velocidade abaixo de c, então a mesma energia dá um comprimento de onda maior do que o de um fóton com essa energia.