드브로이 파장 계산기

결과

드브로이 파장 계산기 사용 방법

1. 1. 입자를 고르세요. 전자, 뮤온, 양성자, 중성자, 알파 입자의 질량은 2022년 CODATA 값입니다. 다른 입자 또는 물체를 고르면 kg, g 또는 원자 질량 단위로 임의의 질량을 입력할 수 있습니다.
2. 2. 아는 값을 고르세요. 속력(m/s, km/h 또는 c에 대한 분수), 운동에너지(µeV에서 GeV 또는 줄 단위), 운동량, 또는 전하를 띤 입자의 가속 전압을 입력합니다.
3. 3. 방법을 고르세요. 정확한 방법은 상대론적 운동학을 사용하며 어떤 속력에서도 옳습니다. 고전적 방법은 p = mv와 K = ½mv²를 사용하며, 빛의 속력보다 훨씬 느릴 때만 정확합니다.
4. 4. 파장을 읽으세요. 결과에는 운동량, 에너지, 속력, β와 γ, 고전 공식의 오차, 그리고 양성자와 가시광선 사이 어디에 파장이 놓이는지 보여 주는 눈금 띠가 함께 나옵니다.

드브로이 관계식

1924년 박사 학위 논문에서 루이 드브로이는 물질에도 파동 성질이 있다고 제안했습니다. 그 파장은 λ = h ÷ p이며, 여기서 h는 플랑크 상수, p는 입자의 운동량입니다. 이는 광자에 대한 관계 p = h ÷ λ를 질량을 가진 입자에 적용한 것과 같습니다. 1927년 니켈 결정에서 산란한 전자들이 회절 무늬를 만든 데이비슨–거머 실험이 이를 확인했으며, 드브로이는 1929년 노벨 물리학상을 받았고, 데이비슨과 G. P. 톰슨은 1937년 상을 공동 수상했습니다.

정지 상태에서 V 볼트로 가속된 전자의 고전적 결과는 λ = h ÷ √(2meV) = 1.2264 nm ÷ √V입니다. 이는 54 V에서 0.1669 nm를 주는 편리한 규칙입니다. 약 10 kV까지는 1% 미만의 오차로 정확하지만, 100 kV에서는 고전 공식이 4.8% 더 길게 나오며, 그보다 높은 에너지에서는 맞지 않습니다. 상대론적 전자의 파장은 1/γ에 따라 줄어들고, 매우 높은 에너지에서는 광자의 값 hc ÷ E에 가까워집니다.

실제 예시

• 데이비슨–거머 전자, 54 V(시작 예시): K = 54 eV, p = 3.970 × 10⁻²⁴ kg·m/s, λ = 166.9 pm = 0.1669 nm로, 결정 속 원자 간격과 비슷합니다. 속력은 4.358 × 10⁶ m/s로 c의 1.45%이므로 고전 공식의 오차는 0.003%에 불과합니다.
• 100 kV의 전자 현미경: 정확한 파장은 3.701 pm(γ = 1.196, β = 0.548)입니다. 고전 공식은 3.878 pm으로 4.8% 더 깁니다. 이는 원자보다 훨씬 작아서, 약 550 nm인 빛으로는 원자를 분해할 수 없지만 전자 현미경은 원자를 분해할 수 있는 이유입니다.
• 열중성자, 0.025 eV: λ = 0.1808 nm, 속력 2.19 km/s로 원자 간격과 맞아떨어지며, 이것이 중성자 회절로 결정 구조를 드러낼 수 있는 이유입니다.
• 5 MeV 알파 입자: λ = 6.42 fm로, 원자핵의 크기와 비슷합니다.
• 220 m/s로 움직이는 C₆₀ 분자(질량 720 u): λ = 2.52 pm. 이런 분자의 간섭은 1999년 Arndt 및 동료들이 관측했으며, 전자보다 훨씬 무거운 물체에서도 물질파가 나타남을 보여 주었습니다.
• 0.145 kg 야구공, 40 m/s: λ = 1.14 × 10⁻³⁴ m로, 양성자 크기의 약 10⁻¹⁹배입니다. 일상의 물체는 파동 현상을 보이기에는 파장이 너무 짧습니다.

자주 묻는 질문

드브로이 파장 공식은 무엇인가요?

λ = h ÷ p이며, 여기서 h = 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s이고 p는 입자의 운동량입니다. 느린 입자에서는 p = mv이므로 λ = h ÷ (mv)이고, 상대론적 속력에서는 p = γmv를 사용합니다.

전압으로 가속된 전자의 파장은 어떻게 구하나요?

전자는 K = eV를 얻고, 고전적으로 p = √(2mK)이므로 λ = h ÷ √(2meV), 즉 약 1.226 nm ÷ √V입니다. 150 V에서는 0.100 nm입니다. 약 10 kV 이상에서는 상대론적 식을 사용해야 하며, 이 계산기는 정확한 방법에서 그 식을 적용합니다.

야구공의 파장은 왜 볼 수 없나요?

운동량이 h에 비해 엄청나게 커서 파장은 10⁻³⁴ m 정도가 되며, 이는 회절시킬 수 있는 어떤 것보다도 조의 조 배나 작습니다. 파동 현상이 나타나려면 파장이 장애물의 크기와 비슷해야 하는데, 일상의 물체에서는 그런 일이 일어나지 않습니다.

상대론적 공식은 언제 필요한가요?

속력이 빛의 속력의 약 10%를 넘을 때부터입니다. 전자의 경우 운동에너지로 약 2.6 keV에 해당합니다. 속력을 주었을 때 고전 파장은 이미 약 0.5% 어긋나며, 그 오차는 빠르게 커집니다. 에너지를 주었을 때 전자의 오차는 100 keV에서 4.8%, 1 MeV에서 41%이며, 약 3 MeV 부근에서는 두 배가 됩니다.

모든 입자에 드브로이 파장이 있나요?

네. 전자, 중성자, 원자, 분자는 모두 간섭을 보입니다. 같은 속력에서는 무거운 물체일수록 파장이 짧아 효과를 검출하기 어렵지만, 수백 개의 원자로 이루어진 분자에서도 간섭이 관측되었습니다.

광자의 파장과 입자의 파장은 어떻게 다른가요?

둘 다 λ = h ÷ p를 따릅니다. 광자는 질량이 없고 항상 c로 움직이므로 에너지가 pc이며 λ = hc ÷ E입니다. 질량을 가진 입자는 c보다 느린 어떤 속력이든 가질 수 있으므로, 같은 에너지라면 그 에너지의 광자보다 파장이 깁니다.