De Broglie Dalga Boyu Hesaplayıcı
Hareket eden her parçacığın bir dalga boyu vardır: λ = h ÷ p. Bir elektron, müon, proton, nötron, alfa parçacığı ya da kendi kütlenizi seçin; hızını, kinetik enerjisini, momentumunu ya da hızlandırıcı voltajını verin. Dalga boyunu, kesin göreli sonuç ve klasik yaklaşımla yan yana görün. Bir ölçek şeridi, dalga boyunu bir proton, bir atom ve görünür ışıkla karşılaştırır. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Sonuçlar
166,9 pm
de Broglie dalga boyu (λ)
3,97 × 10⁻²⁴ kg·m/s
Momentum (p)
54 eV
Kinetik enerji
8,652 × 10⁻¹⁸ J
Joule cinsinden kinetik enerji
4,358 × 10⁶ m/s
Hız
0,01454
Işık hızının kesri olarak hız (β)
1,0001
Lorentz faktörü (γ)
+0,00264%
Klasik formülün hatası
İşlem
- λ = h ÷ p = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s ÷ 3,97 × 10⁻²⁴ kg·m/s = 166,9 pm
De Broglie Dalga Boyu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Parçacığı seçin. Elektron, müon, proton, nötron ve alfa parçacığının kütleleri 2022 CODATA değerleridir. Kütleyi kg, g ya da atomik kütle birimi cinsinden yazmak için Başka bir parçacık ya da cisim seçeneğini belirleyin.
- 2. Bildiğinizi belirtin. Hız (m/s, km/sa ya da c’nin kesri olarak), kinetik enerji (µeV’den GeV’ye ya da joule), momentum veya yüklü bir parçacık için hızlandırıcı voltaj.
- 3. Yöntemi seçin. Kesin yöntem göreli kinematiği kullanır ve her hızda doğrudur. Klasik yöntem p = mv ve K = ½mv² kullanır; yalnızca ışık hızının oldukça altında doğrudur.
- 4. Dalga boyunu okuyun. Sonuç; momentum, enerji, hız, β ve γ, klasik formülün hatası ve dalga boyunun bir proton ile görünür ışık arasında nerede düştüğünü gösteren bir ölçek şeridiyle birlikte gelir.
De Broglie Bağıntısı
Louis de Broglie, 1924 doktora tezinde maddenin dalga özellikleri olduğunu ileri sürdü; dalga boyu λ = h ÷ p’dir; burada h Planck sabiti, p parçacığın momentumudur. Bu, fotonlar için geçerli olan p = h ÷ λ bağıntısının kütleli parçacıklara uygulanmış halidir. 1927’deki Davisson–Germer deneyi bunu doğruladı: bir nikel kristalinden saçılan elektronlar bir kırınım deseni oluşturdu. de Broglie 1929 Fizik Nobel Ödülü’nü aldı; Davisson ve G. P. Thomson 1937 ödülünü paylaştı.
| Verilen | Klasik | Kesin (göreli) |
|---|---|---|
| Hız v | p = mv | p = γmv, γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²) ile |
| Kinetik enerji K | p = √(2mK) | pc = √(K² + 2Kmc²) |
| Hızlandırıcı voltaj V | K = qV, sonra yukarıdaki gibi | K = qV, sonra yukarıdaki gibi |
| Dalga boyu | λ = h ÷ p | λ = h ÷ p |
Durgun halden V volt ile hızlandırılan bir elektron için klasik sonuç λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V’dir; bu, 54 V’ta 0,1669 nm veren pratik bir kuraldır. 10 kV’a kadar yüzde 1’in altında doğrudur; ancak 100 kV’ta klasik formül %4,8 fazla uzun çıkar ve daha yüksek enerjilerde başarısız olur: göreli bir elektronun dalga boyu 1/γ oranında küçülür ve çok yüksek enerjide foton değeri hc ÷ E’ye yaklaşır.
Çalışılmış Örnekler
- Davisson–Germer elektronu, 54 V (başlangıç örneği): K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s ve λ = 166,9 pm = 0,1669 nm; bu, bir kristaldeki atom aralığı kadardır. Hızı 4,358 × 10⁶ m/s, yani c’nin %1,45’i; dolayısıyla klasik formül yalnızca %0,003 kadar yanlıştır.
- 100 kV’ta bir elektron mikroskobu: kesin dalga boyu 3,701 pm’dir (γ = 1,196, β = 0,548). Klasik formül 3,878 pm verir; yani %4,8 fazla uzun. Bu, bir atomdan çok daha küçüktür; bu yüzden elektron mikroskopları, yaklaşık 550 nm’deki ışığın çözemediği atomları çözebilir.
- Termal nötron, 0,025 eV: 2,19 km/s hızda λ = 0,1808 nm; bu, atom aralıklarıyla eşleşir ve nötron kırınımının kristal yapısını ortaya çıkarmasının nedenidir.
- 5 MeV’lik bir alfa parçacığı: λ = 6,42 fm; bu, bir atom çekirdeğinin boyutuna benzer.
- 220 m/s hızdaki bir C₆₀ molekülü (kütle 720 u): λ = 2,52 pm. Bu tür moleküllerin girişimi, Arndt ve meslektaşları tarafından 1999’da gözlendi; bu da bir elektrondan çok daha ağır nesneler için madde dalgalarını gösterdi.
- 40 m/s hızdaki 0,145 kg’lık bir beyzbol topu: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m; bu, bir protonun boyutunun yaklaşık 10⁻¹⁹’u kadardır. Günlük nesnelerin dalga boyları, herhangi bir dalga davranışını göstermek için fazla küçüktür.
Dalga boyu size ne söyler?
Kırınım ve girişim gibi dalga etkileri, dalga boyu engelin boyutuna ya da yarıkların aralığına yakın olduğunda ortaya çıkar. Onlarca eV’lik bir elektronun dalga boyu atom aralıklarına yakındır, bu yüzden kristaller onu kırar; bir beyzbol topunun dalga boyu ise karşılaştığı her şeye göre o kadar küçüktür ki yalnızca parçacık gibi davranır. De Broglie dalga boyu, parçacığın kendi fiziksel bir uzunluğu değildir.
Sık Sorulan Sorular
- De Broglie dalga boyu formülü nedir?
- λ = h ÷ p; burada h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s ve p parçacığın momentumudur. Yavaş bir parçacık için p = mv, dolayısıyla λ = h ÷ (mv); göreli hızlar için p = γmv kullanın.
- Voltajla hızlandırılan bir elektronun dalga boyunu nasıl bulursunuz?
- Elektron K = eV kazanır ve klasik olarak p = √(2mK); dolayısıyla λ = h ÷ √(2meV), yani yaklaşık 1,226 nm ÷ √V. 150 V’ta bu 0,100 nm eder. Yaklaşık 10 kV’un üzerinde, bu hesaplayıcının kesin modunda uyguladığı göreli formülü kullanın.
- Bir beyzbol topunun dalga boyunu neden göremeyiz?
- Momentumu h’ye kıyasla çok büyüktür; bu yüzden dalga boyu 10⁻³⁴ m mertebesindedir; kırabileceği herhangi bir şeyden trilyonlarca trilyon kat küçüktür. Dalga davranışı, dalga boyunun engelin boyutuna yakın olmasını gerektirir ve bu, günlük nesnelerde hiç gerçekleşmez.
- Göreli formüle ne zaman ihtiyacım olur?
- Hız, ışık hızının yaklaşık %10’unu geçtiğinde; bir elektron için bu, yaklaşık 2,6 keV kinetik enerjiye karşılık gelir. Orada klasik dalga boyu, hızı verdiğinizde bile yaklaşık %0,5 yanlış çıkar ve hata hızla büyür: enerjisi verilen bir elektron için 100 keV’da %4,8, 1 MeV’de %41 ve yaklaşık 3 MeV’de iki katı.
- Her parçacığın bir de Broglie dalga boyu var mıdır?
- Evet: elektronlar, nötronlar, atomlar ve moleküllerin hepsi girişim gösterir. Aynı hızda ağır nesnelerin dalga boyları daha kısadır ve etkileri tespit etmek zorlaşır; ancak yüzlerce atomdan oluşan moleküllerle bile girişim gözlenmiştir.
- Bir fotonun dalga boyu ile bir parçacığın dalga boyu arasındaki fark nedir?
- İkisi de λ = h ÷ p’ye uyar. Foton kütlesizdir ve her zaman c hızıyla hareket eder; enerjisi pc’dir ve λ = hc ÷ E. Kütleli bir parçacık c’nin altında herhangi bir hızda hareket edebilir; dolayısıyla aynı enerji, o enerjideki bir fotonunkinden daha uzun bir dalga boyu verir.