Калькулятор длины волны де Бройля

Результаты

Как пользоваться калькулятором длины волны де Бройля

1. 1. Выберите частицу. Массы электрона, мюона, протона, нейтрона и альфа-частицы — значения CODATA 2022 года. Выберите Другая частица или объект, чтобы ввести любую массу в кг, г или атомных единицах массы.
2. 2. Укажите, что известно. Скорость (в м/с, км/ч или долях c), кинетическую энергию (от микроэлектронвольт до гигаэлектронвольт или в джоулях), импульс или ускоряющее напряжение для заряженной частицы.
3. 3. Выберите метод. Точный использует релятивистскую кинематику и верен при любой скорости. Классический использует p = mv и K = ½mv², что точно лишь при скоростях, значительно меньших скорости света.
4. 4. Прочитайте длину волны. Результат приходит с импульсом, энергией, скоростью, β и γ, ошибкой классической формулы и шкалой, которая показывает, где длина волны лежит между протоном и видимым светом.

Соотношение де Бройля

В своей докторской диссертации 1924 года Луи де Бройль предположил, что материя обладает волновыми свойствами, с длиной волны λ = h ÷ p, где h — постоянная Планка, p — импульс частицы. Это то же соотношение, что и для фотона, p = h ÷ λ, применённое к частицам с массой. Эксперимент Дэвиссона — Джермера 1927 года, в котором электроны, рассеянные на кристалле никеля, образовали дифракционную картину, подтвердил его; де Бройль получил Нобелевскую премию по физике в 1929 году, а Дэвиссон и Г. П. Томсон разделили премию 1937 года.

Для электрона, ускоренного из состояния покоя напряжением V вольт, классический результат: λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 нм ÷ √V — удобное правило, которое даёт 0,1669 нм при 54 В. Оно точно с погрешностью менее 1% примерно до 10 кВ, но при 100 кВ классическая формула даёт длину на 4,8% больше, а при более высоких энергиях перестаёт работать: длина волны релятивистского электрона уменьшается как 1/γ и при очень высокой энергии стремится к фотонному значению hc ÷ E.

Примеры

• Электрон Дэвиссона — Джермера, 54 В (исходный пример): K = 54 эВ, p = 3,970 × 10⁻²⁴ кг·м/с и λ = 166,9 пм = 0,1669 нм, примерно соответствует расстоянию между атомами в кристалле. Он движется со скоростью 4,358 × 10⁶ м/с, или 1,45% c, поэтому классическая формула ошибается лишь на 0,003%.
• Электронный микроскоп при 100 кВ: точная длина волны 3,701 пм (γ = 1,196, β = 0,548). Классическая формула даёт 3,878 пм, то есть на 4,8% больше. Это намного меньше атома, поэтому электронные микроскопы различают отдельные атомы там, где свет длиной около 550 нм не может.
• Тепловой нейтрон, 0,025 эВ: λ = 0,1808 нм при скорости 2,19 км/с, что совпадает с расстояниями между атомами, поэтому нейтронная дифракция выявляет структуру кристаллов.
• Альфа-частица с энергией 5 МэВ: λ = 6,42 фм, что близко к размеру атомного ядра.
• Молекула C₆₀ при 220 м/с (масса 720 а. е. м.): λ = 2,52 пм. Интерференцию таких молекул наблюдали Арндт и коллеги в 1999 году, показав волны материи для объектов гораздо тяжелее электрона.
• Бейсбольный мяч массой 0,145 кг при 40 м/с: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ м, около 10⁻¹⁹ размера протона. У предметов повседневной жизни длины волн слишком малы, чтобы проявилось какое-либо волновое поведение.

Часто задаваемые вопросы

Какова формула длины волны де Бройля?

λ = h ÷ p, где h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ Дж·с, а p — импульс частицы. Для медленной частицы p = mv, поэтому λ = h ÷ (mv); для релятивистских скоростей используйте p = γmv.

Как найти длину волны электрона, ускоренного напряжением?

Электрон получает K = eV, и классически p = √(2mK), поэтому λ = h ÷ √(2meV), или примерно 1,226 нм ÷ √V. При 150 В это 0,100 нм. Выше примерно 10 кВ используйте релятивистскую форму, которую калькулятор применяет в точном режиме.

Почему нельзя увидеть длину волны бейсбольного мяча?

Его импульс огромен по сравнению с h, поэтому длина волны около 10⁻³⁴ м — в триллионы триллионов раз меньше всего, вокруг чего он мог бы дифрагировать. Волновое поведение требует длины волны, сравнимой с размером препятствия, а для предметов повседневной жизни это никогда не выполняется.

Когда нужна релятивистская формула?

Когда скорость превышает примерно 10% скорости света, — для электрона это кинетическая энергия около 2,6 кэВ. Там классическая длина волны уже отличается примерно на 0,5%, если задана скорость, и ошибка быстро растёт: если задана энергия электрона, она составляет 4,8% при 100 кэВ, 41% при 1 МэВ и в два раза около 3 МэВ.

Есть ли у всех частиц длина волны де Бройля?

Да: электроны, нейтроны, атомы и молекулы — все проявляют интерференцию. У более тяжёлых объектов при той же скорости длина волны короче, поэтому эффекты труднее заметить, но интерференцию наблюдали с молекулами из сотен атомов.

В чём разница между длиной волны фотона и частицы?

Оба подчиняются λ = h ÷ p. У фотона нет массы, он всегда движется со скоростью c, поэтому его энергия равна pc и λ = hc ÷ E. У частицы с массой может быть любая скорость ниже c, поэтому при той же энергии её длина волны больше, чем была бы у фотона с такой же энергией.