De Broglie-golflengtecalculator

Resultaten

Zo gebruik je de De Broglie-golflengtecalculator

1. 1. Kies het deeltje. Massa's van elektron, muon, proton, neutron en alfadeeltje zijn de CODATA-waarden van 2022. Kies Een ander deeltje of object om elke massa in kg, g of atomaire massa-eenheden (u) in te typen.
2. 2. Geef op wat je weet. Snelheid (in m/s, km/u of als deel van c), kinetische energie (van µeV tot GeV of in joule), impuls, of de versnellingsspanning voor een geladen deeltje.
3. 3. Kies de methode. Exact gebruikt relativistische kinematica en klopt bij elke snelheid. Klassiek gebruikt p = mv en K = ½mv², wat alleen ver onder de lichtsnelheid nauwkeurig is.
4. 4. Lees de golflengte af. Het resultaat komt met impuls, energie, snelheid, β en γ, de fout van de klassieke formule en een schaalstrook die laat zien waar de golflengte valt tussen een proton en zichtbaar licht.

De De Broglie-relatie

In zijn proefschrift uit 1924 stelde Louis de Broglie voor dat materie golfeigenschappen heeft, met een golflengte λ = h ÷ p, waarin h de constante van Planck is en p de impuls van het deeltje. Het is dezelfde relatie als voor een foton, p = h ÷ λ, toegepast op deeltjes met massa. Het Davisson–Germer-experiment van 1927, waarbij elektronen die door een nikkelkristal werden verstrooid een diffractiepatroon vormden, bevestigde de relatie; De Broglie ontving in 1929 de Nobelprijs voor de natuurkunde, en Davisson en G. P. Thomson deelden in 1937 de prijs.

Voor een elektron dat vanuit rust door V volt is versneld, is het klassieke resultaat λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V, een handige regel die 0,1669 nm geeft bij 54 V. Ze is nauwkeurig tot minder dan 1% tot ongeveer 10 kV, maar bij 100 kV is de klassieke formule 4,8% te lang, en bij hogere energieën werkt ze niet meer: de golflengte van een relativistisch elektron krimpt als 1/γ, en bij zeer hoge energie nadert ze de fotonwaarde hc ÷ E.

Uitgewerkte voorbeelden

• Het Davisson–Germer-elektron, 54 V (het startvoorbeeld): K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s en λ = 166,9 pm = 0,1669 nm, ongeveer de afstand tussen atomen in een kristal. Het beweegt met 4,358 × 10⁶ m/s, 1,45% van c, dus de klassieke formule wijkt maar 0,003% af.
• Een elektronenmicroscoop bij 100 kV: de exacte golflengte is 3,701 pm (γ = 1,196, β = 0,548). De klassieke formule geeft 3,878 pm, 4,8% te lang. Dat is veel kleiner dan een atoom, en daarom kunnen elektronenmicroscopen atomen zichtbaar maken waar licht van ongeveer 550 nm dat niet kan.
• Een thermisch neutron, 0,025 eV: λ = 0,1808 nm bij 2,19 km/s, wat overeenkomt met atomaire afstanden, waardoor neutronendiffractie de kristalstructuur zichtbaar maakt.
• Een alfadeeltje van 5 MeV: λ = 6,42 fm, vergelijkbaar met de grootte van een atoomkern.
• Een C₆₀-molecuul bij 220 m/s (massa 720 u): λ = 2,52 pm. Interferentie van zulke moleculen werd in 1999 waargenomen door Arndt en collega's, wat materiegolven liet zien voor objecten die veel zwaarder zijn dan een elektron.
• Een honkbal van 0,145 kg bij 40 m/s: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m, ongeveer 10⁻¹⁹ van de grootte van een proton. Alledaagse voorwerpen hebben golflengten die veel te klein zijn om enig golfgedrag te tonen.

Veelgestelde vragen

Wat is de formule van de De Broglie-golflengte?

λ = h ÷ p, waarbij h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s en p de impuls van het deeltje is. Voor een langzaam deeltje is p = mv, dus λ = h ÷ (mv); bij relativistische snelheden gebruik je p = γmv.

Hoe vind je de golflengte van een elektron dat door een spanning is versneld?

Het elektron krijgt K = eV, en klassiek is p = √(2mK), dus λ = h ÷ √(2meV), of ongeveer 1,226 nm ÷ √V. Bij 150 V is dat 0,100 nm. Boven ongeveer 10 kV gebruik je de relativistische vorm, die deze calculator in de exacte modus toepast.

Waarom kunnen we de golflengte van een honkbal niet zien?

Zijn impuls is enorm vergeleken met h, dus de golflengte ligt rond 10⁻³⁴ m, biljoenen maal biljoenen keer kleiner dan alles waar hij omheen zou kunnen buigen. Golfgedrag vereist een golflengte die vergelijkbaar is met de grootte van het obstakel, wat bij alledaagse voorwerpen nooit gebeurt.

Wanneer heb ik de relativistische formule nodig?

Zodra de snelheid ongeveer 10% van de lichtsnelheid overschrijdt, wat voor een elektron een kinetische energie van ongeveer 2,6 keV is. Daar is de klassieke golflengte al ongeveer 0,5% fout als je de snelheid opgeeft, en de fout groeit snel: voor een elektron waarvan je de energie opgeeft is die 4,8% bij 100 keV, 41% bij 1 MeV, en een factor twee rond 3 MeV.

Hebben alle deeltjes een De Broglie-golflengte?

Ja: elektronen, neutronen, atomen en moleculen vertonen allemaal interferentie. Zwaardere objecten hebben bij dezelfde snelheid kortere golflengten, wat de effecten moeilijker meetbaar maakt, maar interferentie is al gezien met moleculen van honderden atomen.

Wat is het verschil tussen de golflengte van een foton en die van een deeltje?

Beide gehoorzamen aan λ = h ÷ p. Een foton heeft geen massa en beweegt altijd met c, dus zijn energie is pc en λ = hc ÷ E. Een deeltje met massa kan elke snelheid onder c hebben, dus dezelfde energie geeft een langere golflengte dan een foton met die energie zou hebben.