Kalkulator długości fali de Broglie’a

Wyniki

Jak korzystać z kalkulatora długości fali de Broglie’a

1. 1. Wybierz cząstkę. Masy elektronu, mionu, protonu, neutronu i cząstki alfa to wartości CODATA z 2022 roku. Wybierz Inna cząstka lub obiekt, aby wpisać dowolną masę w kg, g lub jednostkach masy atomowej.
2. 2. Podaj, co wiesz. Prędkość (w m/s, km/h lub jako ułamek c), energię kinetyczną (od µeV do GeV lub w dżulach), pęd albo napięcie przyspieszające dla cząstki naładowanej.
3. 3. Wybierz metodę. Dokładna używa kinematyki relatywistycznej i jest poprawna przy każdej prędkości. Klasyczna używa p = mv oraz K = ½mv², co jest dokładne tylko przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości światła.
4. 4. Odczytaj długość fali. Wynik zawiera pęd, energię, prędkość, β i γ, błąd wzoru klasycznego oraz pasek skali pokazujący, gdzie długość fali leży między protonem a światłem widzialnym.

Relacja de Broglie’a

W swojej pracy doktorskiej z 1924 roku Louis de Broglie zaproponował, że materia ma własności falowe, z długością fali λ = h ÷ p, gdzie h to stała Plancka, a p to pęd cząstki. Jest to ta sama relacja co dla fotonu, p = h ÷ λ, zastosowana do cząstek z masą. Doświadczenie Davissona–Germera z 1927 roku, w którym elektrony rozproszone na krysztale niklu utworzyły obraz dyfrakcyjny, ją potwierdziło; de Broglie otrzymał w 1929 roku Nagrodę Nobla z fizyki, a Davisson i G. P. Thomson podzielili się nagrodą z 1937 roku.

Dla elektronu przyspieszonego z spoczynku napięciem V woltów wynik klasyczny to λ = h ÷ √(2meV) = 1,2264 nm ÷ √V, wygodna reguła, która daje 0,1669 nm przy 54 V. Jest dokładna do mniej niż 1% aż do około 10 kV, ale przy 100 kV wzór klasyczny jest o 4,8% za długi, a przy wyższych energiach zawodzi: długość fali relatywistycznego elektronu maleje jak 1/γ i przy bardzo wysokiej energii dąży do wartości fotonowej hc ÷ E.

Przykłady krok po kroku

• Elektron Davissona–Germera, 54 V (przykład początkowy): K = 54 eV, p = 3,970 × 10⁻²⁴ kg·m/s i λ = 166,9 pm = 0,1669 nm, mniej więcej tyle, ile wynosi odstęp między atomami w krysztale. Porusza się z prędkością 4,358 × 10⁶ m/s, czyli 1,45% c, więc wzór klasyczny jest błędny tylko o 0,003%.
• Mikroskop elektronowy przy 100 kV: dokładna długość fali to 3,701 pm (γ = 1,196, β = 0,548). Wzór klasyczny daje 3,878 pm, o 4,8% za dużo. To znacznie mniej niż rozmiar atomu, dlatego mikroskopy elektronowe potrafią rozdzielać atomy, czego światło o długości około 550 nm nie potrafi.
• Neutron termiczny, 0,025 eV: λ = 0,1808 nm przy 2,19 km/s, co odpowiada odstępom atomowym – dlatego dyfrakcja neutronów ujawnia strukturę kryształów.
• Cząstka alfa 5 MeV: λ = 6,42 fm, zbliżona do rozmiaru jądra atomowego.
• Cząsteczka C₆₀ przy 220 m/s (masa 720 u): λ = 2,52 pm. Interferencję takich cząsteczek zaobserwowali Arndt i współpracownicy w 1999 roku, pokazując fale materii dla obiektów znacznie cięższych od elektronu.
• Piłka baseballowa 0,145 kg przy 40 m/s: λ = 1,14 × 10⁻³⁴ m, około 10⁻¹⁹ rozmiaru protonu. Przedmioty codziennego użytku mają długości fal zbyt małe, by wykazywać zachowanie falowe.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na długość fali de Broglie’a?

λ = h ÷ p, gdzie h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s, a p to pęd cząstki. Dla wolnej cząstki p = mv, więc λ = h ÷ (mv); przy prędkościach relatywistycznych użyj p = γmv.

Jak znaleźć długość fali elektronu przyspieszonego napięciem?

Elektron zyskuje K = eV, a klasycznie p = √(2mK), więc λ = h ÷ √(2meV), czyli około 1,226 nm ÷ √V. Przy 150 V wynosi to 0,100 nm. Powyżej mniej więcej 10 kV użyj postaci relatywistycznej, którą kalkulator stosuje w trybie dokładnym.

Dlaczego nie widzimy długości fali piłki baseballowej?

Jej pęd jest ogromny w porównaniu z h, więc długość fali wynosi około 10⁻³⁴ m, czyli około dwadzieścia cztery rzędy wielkości mniej niż cokolwiek, wokół czego mogłaby ulec dyfrakcji. Zachowanie falowe wymaga długości fali porównywalnej z rozmiarem przeszkody, co dla przedmiotów codziennego użytku nigdy nie zachodzi.

Kiedy potrzebuję wzoru relatywistycznego?

Gdy prędkość przekroczy około 10% prędkości światła, co dla elektronu odpowiada energii kinetycznej około 2,6 keV. Tam klasyczna długość fali jest już błędna o około 0,5%, jeśli podasz prędkość, a błąd szybko rośnie: dla elektronu o danej energii wynosi 4,8% przy 100 keV i 41% przy 1 MeV, a przy około 3 MeV wynik klasyczny różni się od prawidłowego dwukrotnie.

Czy wszystkie cząstki mają długość fali de Broglie’a?

Tak: elektrony, neutrony, atomy i cząsteczki wykazują interferencję. Cięższe obiekty mają krótsze długości fal przy tej samej prędkości, co utrudnia wykrycie efektów, ale interferencję zaobserwowano u cząsteczek zbudowanych z setek atomów.

Jaka jest różnica między długością fali fotonu a cząstki?

Obie spełniają λ = h ÷ p. Foton nie ma masy i zawsze porusza się z prędkością c, więc jego energia to pc, a λ = hc ÷ E. Cząstka z masą może mieć dowolną prędkość mniejszą od c, więc przy tej samej energii ma dłuższą falę niż foton o tej energii.