حاسبة تأثير دوبلر
احسب التردد الذي يسمعه المستمع عندما يتحرك مصدر الصوت أو المستمع، أو اعمل عكسيًا لتصل إلى تردد المصدر أو سرعته، أو انتقل إلى الضوء لتحوّل سرعة إلى انزياح أحمر z، أو انزياحًا أحمر إلى سرعة. تُذكر اتفاقيات الإشارات، وتُرسم الجبهات الموجية، ويُكتب الحل خطوة بخطوة. مجاني ودون تسجيل.
343 m/s في الهواء عند 20 °C؛ و331 m/s عند 0 °C.
الاتفاقية: تُعدّ سرعة المستمع موجبة عندما تكون نحو المصدر، وسرعة المصدر موجبة عندما تكون نحو المستمع. ويُفترض أن الهواء ساكن.
النتائج
767.1 Hz
التردد المسموع
+9.585%
التغير في التردد
643.7 Hz
إذا عُكس الاتجاهان
0.08746
سرعة المصدر كعدد ماخ
الحل
- f′ = f × (v + 0) ÷ (v − 30) = 700 × (343 + 0) ÷ (343 − 30) = 767.1 Hz
كيفية استخدام حاسبة تأثير دوبلر
- 1. اختر الصوت أو الضوء. يحتاج الصوت إلى وسط مادي ويستخدم الصيغة الكلاسيكية، أما الضوء فينتشر في الفراغ ويحتاج إلى الصيغة النسبية.
- 2. في حالة الصوت، حدّد ما تريد إيجاده. اختر التردد المسموع أو التردد الصادر أو سرعة المصدر، ثم أدخل سرعة الصوت (343 m/s في الهواء عند 20 °C)، والترددات، وسرعة كل طرف واتجاهه.
- 3. في حالة الضوء، أدخل ما تعرفه. أعطِ سرعة أو انزياحًا أحمر z، أو الطولين الموجيين المرصود والمنبعث. أضف الطول الموجي الأصلي لترى أين يقع الخط الطيفي.
- 4. اقرأ النتائج والحل. ستحصل على القيمة بعد الإزاحة، والنسبة المئوية للتغير، وعدد ماخ أو β، ورسمًا للجبهات الموجية، وكل صيغة مكتوبة بأرقامك.
صيغة دوبلر للصوت
عندما يتحرك مصدر الصوت والمستمع بالنسبة إلى الهواء، يكون التردد المسموع f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ). هنا f هو التردد الذي يصدره المصدر، وv سرعة الصوت في الوسط، وvₒ سرعة المستمع نحو المصدر، وvₛ سرعة المصدر نحو المستمع. وتكون أي من السرعتين سالبة إذا كانت الحركة بعيدًا. يضغط المصدر المقترب الجبهات الموجية أمامه فترتفع الطبقة، ويمدّ المصدر المبتعد الجبهات فتنخفض.
| الحالة | الصيغة | الناتج |
|---|---|---|
| المصدر يقترب والمستمع ثابت | f′ = f × v ÷ (v − vₛ) | طبقة أعلى |
| المصدر يبتعد والمستمع ثابت | f′ = f × v ÷ (v + vₛ) | طبقة أدنى |
| المستمع يقترب والمصدر ثابت | f′ = f × (v + vₒ) ÷ v | طبقة أعلى |
| المستمع يبتعد والمصدر ثابت | f′ = f × (v − vₒ) ÷ v | طبقة أدنى |
الحالتان غير متماثلتين. فحركة المصدر تغيّر الطول الموجي الذي يصل إلى مستمع ثابت، أما حركة المستمع فتجعله يلتقي بالطول الموجي نفسه بمعدل مختلف. وهما تعطيان انزياحين مختلفين قليلًا عند السرعة نفسها، والصيغة تفصل بينهما.
مثال تطبيقي: صفارة سيارة إسعاف
تُصدر صفارة ترددًا قدره 700 Hz، وتمر بسرعة 30 m/s (108 km/h) بجوار مستمع واقف، وسرعة الصوت 343 m/s. هذه هي القيم الابتدائية:
- عند الاقتراب: f′ = 700 × 343 ÷ (343 − 30) = 767.1 Hz، أي أعلى بنسبة 9.6%.
- عند الابتعاد: f′ = 700 × 343 ÷ (343 + 30) = 643.7 Hz، أي أقل بنسبة 8.0%. تعرض الحاسبة هذه الحالة بعبارة «إذا عُكس الاتجاهان».
- المشي نحو مكبر صوت تردده 440 Hz بسرعة 1.5 m/s: f′ = 440 × (343 + 1.5) ÷ 343 = 441.9 Hz، بانزياح 0.44% فقط، وهو أصغر من أن يُسمع.
تعطي الصيغة نفسها الحل عكسيًا لإيجاد سرعة المصدر. إذا سمع مستمع واقف صفارة تردد 700 Hz بتردد مسموع 767 Hz، فإن سرعة المصدر هي v − f × v ÷ f′ = 343 − 700 × 343 ÷ 767، أي نحو 30 m/s نحو المستمع. وعندما تبلغ سرعة المصدر سرعة الصوت يصبح المقام صفرًا؛ وبعد ذلك تتراكم الموجات في جبهة صدمة، هي الدوي الصوتي، ولا تعود الصيغة صالحة.
انزياح دوبلر والانزياح الأحمر للضوء
الضوء لا يحتاج إلى وسط، لذلك لا يهم إلا السرعة النسبية، ويتبع الانزياح من النظرية النسبية الخاصة. بالنسبة إلى مصدر يبتعد على طول خط الرؤية بسرعة v، ومع β = v ÷ c، يكون الطول الموجي المرصود أطول بالعامل 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)). ويعطي المصدر المقترب z سالبة، أي انزياحًا أزرق. وبالعكس، β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1). وعند السرعات المنخفضة يكون z ≈ v/c، لكن التقدير الكلاسيكي يفشل قرب سرعة الضوء.
| الانزياح الأحمر z | السرعة ككسر من c | السرعة (km/s) |
|---|---|---|
| 0.01 | 0.00995 | 2,983 |
| 0.1 | 0.0950 | 28,487 |
| 0.5 | 0.385 | 115,305 |
| 1 | 0.600 | 179,875 |
| 2 | 0.800 | 239,834 |
| 5 | 0.946 | 283,587 |
المثال الافتتاحي مصدر يبتعد بسرعة 30,000 km/s (β = 0.1001): تعطي النسبية z = 0.1056، فيُرصد خط طيفي منبعث عند 656.3 nm عند 725.6 nm، بينما يعطي التقدير الكلاسيكي z ≈ v/c = 0.1001 قيمة أقل بنسبة 5.3%.
الانزياح الأحمر للمجرات البعيدة
بالنسبة إلى المصادر القريبة تصف صيغة دوبلر حركة حقيقية. أما بالنسبة إلى المجرات البعيدة فالانزياح الأحمر المرصود يأتي في معظمه من تمدد الفضاء نفسه، لذلك يذكر الفلكيون قيمة z مباشرة، ويعاملون السرعة المحسوبة من هذه الصيغة على أنها مكافئ مناسب، لا سرعة حرفية. كما أن الحاسبة لا تحاكي تأثير دوبلر العرضي، الذي يظهر عندما تكون الحركة عمودية على خط الرؤية.
الأسئلة الشائعة
- ما صيغة تأثير دوبلر؟
- للصوت: f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ)، حيث v سرعة الصوت، وvₒ سرعة المستمع نحو المصدر، وvₛ سرعة المصدر نحو المستمع. استخدم قيمًا سالبة للحركة المبتعدة. وللضوء: 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)) للمصدر المبتعد.
- لماذا تنخفض طبقة صوت سيارة الإسعاف عند مرورها؟
- أثناء الاقتراب تُصدر كل جبهة موجية من مكان أقرب إليك من سابقتها، فتصلك الجبهات بتواتر أعلى فتسمع ترددًا أعلى. بعد المرور تبدأ كل جبهة من مكان أبعد، فتصلك بتواتر أقل فتكون الطبقة أدنى. والصفارة نفسها لا يتغير ترددها.
- ما الانزياح الأحمر وماذا يعني z؟
- الانزياح الأحمر z هو الزيادة الكسرية في الطول الموجي: z = (λ_observed − λ_emitted) ÷ λ_emitted. فالخط الطيفي عند 500 nm الذي يُرصد عند 550 nm له z = 0.1. وتعني z السالبة أن الضوء انزاح نحو الأزرق.
- هل يمكن أن يتحرك المصدر أسرع من الصوت في صيغة دوبلر؟
- لا. فعند سرعة الصوت تعطي الصيغة ترددًا لا نهائيًا، وفوق ذلك تتداخل الموجات في موجة صدمة على شكل مخروط. وعدد ماخ، الظاهر في النتائج، هو سرعة المصدر مقسومة على سرعة الصوت.
- أيهما أهم: سرعة المستمع أم سرعة المصدر؟
- يختلفان قليلًا في الصوت. فعند السرعة نفسها يغيّر المصدر المتحرك التردد قليلًا أكثر من المستمع المتحرك، لأن السرعة تدخل في المقام. أما في الضوء فالحالتان متطابقتان، لأن المعتبر هو السرعة النسبية فقط.
- كيف تُستخدم إزاحات دوبلر عمليًا؟
- يقيس رادار الشرطة والطقس انزياح الموجات الميكروية المنعكسة لتحديد السرعات والرياح، ويستخدم التصوير بالموجات فوق الصوتية الطبي الانزياح لقياس تدفق الدم، ويستخدم الفلكيون انزياح الخطوط الطيفية لقياس سرعات النجوم والكواكب التي تجذب نجمها، وسرعات المجرات.