Калькулятор эффекта Доплера
Найдите частоту, которую слышит наблюдатель, когда движется источник звука или сам слушатель, или работайте в обратном порядке: от слышимой частоты к частоте источника или его скорости. Переключитесь на свет, чтобы перевести скорость в красное смещение z — или красное смещение в скорость. Правила знаков объяснены, волновые фронты нарисованы, а расчёт записан по шагам. Бесплатно, без регистрации.
343 м/с в воздухе при 20 °C; 331 м/с при 0 °C.
Соглашение: скорость наблюдателя считается положительной при движении к источнику, а скорость источника — при движении к наблюдателю. Воздух считается неподвижным.
Результаты
767,1 Hz
Слышимая частота
+9,585%
Изменение частоты
643,7 Hz
Если оба направления поменять местами
0,08746
Скорость источника в числах Маха
Расчёт
- f′ = f × (v + 0) ÷ (v − 30) = 700 × (343 + 0) ÷ (343 − 30) = 767,1 Hz
Как пользоваться калькулятором эффекта Доплера
- 1. Выберите звук или свет. Звуку нужна среда и классическая формула; свет распространяется в пустом пространстве и требует релятивистской формулы.
- 2. Для звука выберите, что найти. Укажите слышимую частоту, частоту источника или скорость источника, затем введите скорость звука (343 м/с в воздухе при 20 °C), частоты и скорость и направление движения каждого участника.
- 3. Для света введите известное. Укажите скорость, красное смещение z или наблюдаемую и излучаемую длины волн. Добавьте длину волны покоя, чтобы увидеть, где окажется спектральная линия.
- 4. Прочитайте результаты и расчёт. Вы получите сдвинутое значение, процентное изменение, число Маха или β, рисунок волновых фронтов и каждую формулу с вашими числами.
Формула Доплера для звука
Когда источник звука и слушатель движутся относительно воздуха, слышимая частота равна f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ). Здесь f — частота, которую излучает источник, v — скорость звука в среде, vₒ — скорость наблюдателя к источнику, а vₛ — скорость источника к наблюдателю. Если движение происходит в противоположную сторону, соответствующая скорость отрицательна. Приближающийся источник сжимает волновые фронты впереди себя (высота тона растёт), а удаляющийся растягивает их (тон понижается).
| Ситуация | Формула | Результат |
|---|---|---|
| Источник приближается, наблюдатель неподвижен | f′ = f × v ÷ (v − vₛ) | Выше тон |
| Источник удаляется, наблюдатель неподвижен | f′ = f × v ÷ (v + vₛ) | Ниже тон |
| Наблюдатель приближается, источник неподвижен | f′ = f × (v + vₒ) ÷ v | Выше тон |
| Наблюдатель удаляется, источник неподвижен | f′ = f × (v − vₒ) ÷ v | Ниже тон |
Два случая не симметричны. Движущийся источник меняет длину волны, доходящей до неподвижного наблюдателя; движущийся наблюдатель встречает ту же длину волны с другой скоростью. При одной и той же скорости они дают немного разные сдвиги, и формула учитывает их отдельно.
Пример: сирена скорой помощи
Сирена излучает 700 Гц и проезжает мимо неподвижного слушателя со скоростью 30 м/с (108 км/ч) при скорости звука 343 м/с. Исходные значения такие:
- Приближается: f′ = 700 × 343 ÷ (343 − 30) = 767,1 Гц, на 9,6% выше.
- Удаляется: f′ = 700 × 343 ÷ (343 + 30) = 643,7 Гц, на 8,0% ниже. Калькулятор показывает этот случай как «если оба направления поменять местами».
- Идёте к динамику на 440 Гц со скоростью 1,5 м/с: f′ = 440 × (343 + 1,5) ÷ 343 = 441,9 Гц, сдвиг всего 0,44% — слишком мал, чтобы его услышать.
Та же формула, применённая в обратном порядке, находит скорость источника. Если сирену на 700 Гц неподвижный слушатель слышит на частоте 767 Гц, скорость источника равна v − f × v ÷ f′ = 343 − 700 × 343 ÷ 767, то есть около 30 м/с к слушателю. Когда источник достигает скорости звука, знаменатель обращается в ноль; дальше волны сжимаются в ударный фронт — звуковой удар, и формула перестаёт действовать.
Доплеровский сдвиг и красное смещение для света
Свету не нужна среда, поэтому важна только относительная скорость, а сдвиг следует из специальной теории относительности. Для источника, удаляющегося вдоль луча зрения со скоростью v, при β = v ÷ c наблюдаемая длина волны больше в 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)) раз; приближающийся источник даёт отрицательное z — синее смещение. Обратная формула: β = ((1 + z)² − 1) ÷ ((1 + z)² + 1). При малых скоростях z ≈ v/c, но классическая оценка перестаёт работать вблизи скорости света.
| Красное смещение z | Скорость как доля c | Скорость (км/с) |
|---|---|---|
| 0,01 | 0,00995 | 2 983 |
| 0,1 | 0,0950 | 28 487 |
| 0,5 | 0,385 | 115 305 |
| 1 | 0,600 | 179 875 |
| 2 | 0,800 | 239 834 |
| 5 | 0,946 | 283 587 |
Исходный пример — источник, удаляющийся со скоростью 30 000 км/с (β = 0,1001): теория относительности даёт z = 0,1056, поэтому спектральная линия, излучённая на 656,3 нм, наблюдается на 725,6 нм, тогда как классическая оценка z ≈ v/c = 0,1001 занижена на 5,3%.
Красное смещение далёких галактик
Для близких источников формула Доплера описывает реальное движение. Для галактик на космологических расстояниях наблюдаемое красное смещение в основном обусловлено растяжением самого пространства, поэтому астрономы приводят z напрямую, а скорость по этой формуле считают удобным эквивалентом, а не буквальной скоростью. Калькулятор также не моделирует поперечный эффект Доплера, который возникает, когда движение происходит поперёк луча зрения.
Часто задаваемые вопросы
- Какая формула эффекта Доплера?
- Для звука f′ = f × (v + vₒ) ÷ (v − vₛ), где v — скорость звука, vₒ — скорость наблюдателя к источнику, а vₛ — скорость источника к наблюдателю. Для движения в противоположную сторону используйте отрицательные значения. Для света при удаляющемся источнике 1 + z = √((1 + β) ÷ (1 − β)).
- Почему тон сирены скорой помощи понижается при проезде?
- Пока машина приближается, каждый волновой фронт испускается ближе к вам, чем предыдущий, поэтому фронты приходят чаще и вы слышите более высокий тон. После проезда каждый фронт начинается дальше, приходит реже, и тон становится ниже. Сама сирена при этом не меняется.
- Что такое красное смещение и что означает z?
- Красное смещение z — относительное увеличение длины волны: z = (λ_observed − λ_emitted) ÷ λ_emitted. Спектральная линия 500 нм, наблюдаемая на 550 нм, имеет z = 0,1. Отрицательное z означает сдвиг света к синему концу спектра.
- Может ли источник в формуле Доплера двигаться быстрее скорости звука?
- Нет. При скорости звука формула даёт бесконечную частоту, а быстрее волны перекрываются в конусообразную ударную волну. Число Маха, которое показывают результаты, — это скорость источника, делённая на скорость звука.
- Что важнее: скорость наблюдателя или источника?
- Для звука они дают немного разный результат. При одинаковой скорости движущийся источник сдвигает частоту чуть сильнее, чем движущийся наблюдатель, потому что скорость входит в знаменатель. Для света оба случая одинаковы, так как важна только относительная скорость.
- Где на практике используют доплеровский сдвиг?
- Полицейские и метеорологические радары измеряют сдвиг отражённых микроволн, чтобы найти скорость машин и ветра; медицинское ультразвуковое исследование измеряет им кровоток; а астрономы по сдвигу спектральных линий определяют скорости звёзд, планет, которые раскачивают свою звезду, и галактик.